derivada

Exercícios:

1 Calcule as derivadas:

a) b) c)

d) e) f)

g) f(x) = sen(2x + 4) h) i)

j) k) l)

Derivadas das funções trigonométricas Inversas

1. Derivada da função arco seno
Seja definida por f(x) = arc senx. Então y = f(x) é derivável em ( -1, 1) e

Prova: Sabemos que: Y = arc senx x = seny, y aplicando o teorema da função inversa, que é:

Lembrando que cos2x + sen2x = 1

Como para y temos , substituindo em (1), vem . Como seny = x temos , para x (-1,1).

2. Derivada da função arco cosseno

Seja definida por f(x) = arc cosx. Então y = f(x) é derivável em (-1, 1) e .

Prova: Usando o relação arc cosx = e a proposição anterior, obtemos:

, para x (-1,1)

3. Derivada da função arco tangente

Seja definida por f(x) = arc tgx. Então y = f(x) é derivável e .
Prova: Sabemos que

y = arc tgx x = tgy, y .
Como (tg y)’ existe e é diferente de zero para qualquer y , aplicando o teorema da derivada inversa, vem:

Como sec2y = 1 + tg2y, obtemos:

.
Substituindo tgy por x, temos:

.

4. Derivadas das Demais Funções Trigonométricas Inversas.

As demais funções trigonométricas inversas possuem derivadas dadas por:

(i) Se y = arc cotgx então
(ii) Se y = arc secx, , então
(iii) Se y = arc cosecx, , então

Exemplos: Encontre a derivada das seguintes funções:

1) y = arc sen(x + 1) y = arc senu, u = x +1

2) y = arctg .
Y = arc tgu, u = .

Exercícios:

1. 2)

3) 4)

5) 6) ,a>0

7) 8)

Exercícios:

d)f(x) = cos x n = 3

e) f(x) = 3x2 + 8x + 1 n = 3

f) f(x) = tg x n= 3

g) n= 2