Derivada

9. Derivadas de ordem superior
Se uma função f for derivável, então f ’ é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1).
Se a derivada de f ’ existir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de ordem 2), e assim por diante.
Notações: f ’(x) ou

df dx (derivada de primeira ordem de f em relação a x)

d2 f dx 2

(derivada de segunda ordem de f em relação a x)

d3 f f ’’’(x) ou dx 3

(derivada de terceira ordem de f em relação a x)

f ’’(x) ou

M f (n)

dn f
(x) ou dx n

(derivada de ordem n de f em relação a x)

Exemplos:
1) Se f ( x) = 8 x 4 + 5 x 3 − x 2 + 7 , encontre as derivadas de todas as ordens de f.

f ' ( x) = 32 x 3 + 15 x 2 − 2 x

f iv ( x) = 192

f ' ' ( x) = 96 x 2 + 30 x − 2

f v ( x) = 0

f ' ' ' ( x ) = 192 x + 30

f ( n ) ( x) = 0, n ≥ 5

2) Se f ( x) = 2 sen( x) + 3 cos( x) − x 3 , calcule f ’’’(x).

f ' ( x) = 2 cos( x) − 3sen( x) − 3 x 2 f ' ' ( x) = −2 sen ( x ) − 3 cos( x) − 6 x f ' ' ' ( x) = −2 cos( x ) + 3sen ( x) − 6

3) Se f ( x) = e x / 2 , calcule f (n) (x). f ' ( x) =

1 x/2 e ;
2

f ' ' ( x) =

1 x/2 e ;
4

1 f ' ' ' ( x) = e x / 2 ;
8

.... ,

f

(n)

( x) =

1 x/2 e 2n

85

4) Se f ( x ) =

1
= x −1 , determine f (n) (x). x f ' ( x) = (−1) x −2 = − x −2 f ' ' ( x) = (−1)(−2) x −3 = 2 x −3 f ' ' ' ( x) = (−3)(−2)(−1) x −4 = −3 ⋅ 2 ⋅ 1 x −4 f iv ( x) = (−4)(−3)(−2)(−1) x −5 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 x −5

f v ( x) = (−5)(−4)(−3)(−2)(−1) x −6 = −5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 x −6
... f ( n ) ( x) = (−1) n n! x −( n+1) =

(−1) n n!
.
x ( n+1)

Aplicação física da segunda derivada: aceleração
Já vimos que se uma função s(t) descreve a posição de um objeto em movimento no instante t, então s´(t ) fornece a taxa de variação instantânea do movimento, ou seja, a velocidade deste objeto no instante t. O que seria então, a segunda derivada de s(t)? Pelo mesmo raciocínio, s´´(t ) fornece a taxa de variação instantânea de s´(t ) , ou seja, a