Corrente alternada

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Análise de Circuitos em Corrente Alternada
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 1
1.1 - Converter na forma polar
a)

z1 = 20 -j10 ⇒ tg φ = 10/20 =0,5 ⇒ φ = -26,5º (4º quadrante)

Z1 = 202 + 102 = 22,3
Z1 = 22,3

b)

-26,5º

z2 = 10+ j15 ⇒ tg φ =15/10 =1,5 φ = 56,3º (1º quadrante)
Z2 = 15 2 + 10 2 = 18
Z2 = 18 56,3º

c)

z3 = -50 + j30 ⇒ tg φ = 30/50 = 0,6 φ = 31º (2ºQuadrante)
Z3 = 50 2 + 30 2 = 58,3

Z3 = 58 149º

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d)

z4=-6-j12 ⇒ tg φ = 12/6 = 2 φ = 63,4º
Z4 = (-6) 2 + (-12) 2 = 13,4 Z4 = 13,4 243,4º =13,4 -116,5º

e)

Z5 =5 ⇒ φ = 0º

Z5 =5 0º

f)

Z6 = -15 φ = 180º

Z6 = 15 180º

g)

Z7 = j25

⇒ φ =90º Z7 = 25

90º

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h)

Z8 = -j9

φ = 270º ou φ = -90º Z8 = 9 270º

=9 -90º

1.2 - Converter na forma cartesiana
a)

Z1=50 30º

b)

Z2 = 100

c)

Z3 = 10

150º

-30º

Z1 = 50.cos30 + j50sen30 = 43,3 + j25

= 100. Cos150 + 100.sen150 = -86,66 + j50

= 10.cos(-30) + j10sen( -30) = 8,66 -j5

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d)

Z4= 25

90º

e)

Z5 = 45

-90º

f)

Z6 = 220



g)

Z7 = 3,56 45º

= 25.cos90 + j25.sen90 = 0 + j25= j25

= 45.cos(-90º) + j45.sen(-90º) = 0 -j45 = -j45

= 220.cos0º + j220.sen0º = 220

= 3,56.cos45º + j.3,56.sen45º = 2,52 + j2,52

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h)

67 180º

= 67.cos180º + j.sen180º = -67

1.3 - Operações comnúmeros complexos
Z1 = 40 - j100

Z2 = 50 30º

Z3 = 5 + j8,66

Z4 = -20 - j40

Z1 = 107,7 -68º , Z2 = 50cos30º + j50sen30º= 43,3 + j25, Z3 = 10 60º
Z4 = 44,7 243,4º
Efetuar as operações:
a)

Z1 + Z2 = (40 - j100) + (43,3 + j25) = 83,3 - j75

b)

Z1 + Z4 = (40 - j100) + (-20 -j40) = 20 - j140

c)

Z2 + Z4 = (43,3 + j25 ) + (-20 -j40) = 23,3 - j15

d)

Z1 - Z2 = (40 - j100) -( 43,3 + j25) = 3,3 - j125

e)

Z2 - Z3 = (43,3 + j25) - (5+ j8,66) = 38,3 + j16,34

f)

Z3 - Z4 = (5+ j8,66) - (-20 - j40) = 25 + j48,66

g) Z23 = Z3.Z3 = 10 60º . 10 60º = 100 120º = 100.cos120º + jsen120º =
= - 50 + j86,6
30º

.10 60º

= 500 90º = j500

h)

Z1.Z3 = 50

i)

Z4 / Z1 = (44,7 243,4º ) / ( 50 30º ) = 0,89 213,4º =
= 0,89.cos213,4 + j0,89.sen213,4 = -0,74 -j0,49

j)

(Z1.(Z2+Z3))/Z4, Z2+Z3 = (43,3 + j25) + ( 5+ j8,66) = 48,3 + j33,66 = 58,8 34,8º
(107,7 -68º .58,8 34,8º ) / 44,7 243,4º = 141,7 -276,6º =
141,7.cos(-276,6º) + j141,7.sen(-276,6º) = 16,3 + j140,7

Capítulo 2
2.1 - 1 - Dadas as tensões representadas pelos gráficos seguintes, pede-se determinar:

a) Valor de pico a pico
b) Período, freqüência e freqüência angular
c) Faseinicial e defasagem entre eles
d) Expressão matemática
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a)

Dos gráficos obtemos:
Tensão1: VP1 =12v VPP1 =24V tensão2 : VP2 =16V VPP2 =32V

b)

Período
Tensão1: 40ms (45ms -5ms)

tensão2: 40ms

freqüência
tensão 1: f1 = 1/40ms =25Hz

f2 = 1/40ms = 25Hz

ω1= ω2 = 2.π.25 = 157 rd/s
c)

Fase inicial
Tensão 1: para t= 5ms ⇒ v(5ms)=0 = 12.sen(157.5.10-3 + θ01) ⇒
Significa que

sen(0,785 +θ01) = 0 ⇒ 0,785 + θ01 = 0 ⇒ θ01 = -0,785rd ou θ01 = -45º

Tensão 2: para t =0

⇒ v(0) =16V = 16.sen(157.0 + θ02), usando o mesmo raciocínio

obtemos: θ02 = 90º
Portanto, a defasagem entre elas é ∆ θ0 = 90 - ( -45) = 135º
Tente desenhar o diagrama fasorial, representando as duas tensões.

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d)

v1(t) = 12.sen(2.π.25.t -45º)(V) =12.sen(50.π.t - 45º)(V)= 12.sen(157.t - π/4)(V)
v2(t) = 16.sen(50.π.t + 90º)(V) =16.sen(157.t + π/2)(V)

2.2 - Tensão senoidal: f = 100Hz VP = 10

θ0 = - π/3 rd = - 60º

a)

T = 1 / f = 1/ 100 = 0,01s = 10ms ω = 2.π.100 = 628 rd/s

b)

V(t) = 10.sen(628.t - 60º ) ( V )= 10.sen(628.t - π/3 ) ( V )...
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