Coordenadas polares

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Coordenadas Polares
At´ agora, sempre usamos as coordenadas retangulares, onde um ponto do plano ´ repree
e
sentado por um par de n´meros reais que representam as distˆncias entre um ponto e os
u
a
eixos coordenados

P

Figura 1: As distˆncias aos eixos coordenados determinam o ponto do plano.
a
No entanto, um ponto do espa¸o pode ser representado e unicamente determinando se
csoubermos a distˆncia at´ a origem e o ˆngulo que o segmento OP faz com a horizontal
a
e
a

P

Figura 2: Distˆncia e ˆngulo tamb´m determinam um unico ponto no plano.
a
a
e
´
Desta forma, temos duas maneiras de “particionar” o plano. Uma usando coordenadas
retangulares ou cartesianas outra usando coordenadas polares, como mostram as figuras
a seguir:
1

Figura 3: CoordenadasRetangulares.

Figura 4: Coordenadas Polares.

Repare ainda que podemos passar de uma para outra: se P ´ um ponto cujas coordee
nadas cartesianas s˜o (x, y ) e as polares (r, θ), ent˜o
a
a
x = r. cos θ
y = r.senθ
2

P

y
r
θ

x

Figura 5: Coordenadas Polares e retangulares.

Considere uma fun¸ao f definida numa regi˜o Ω como a da figura 6 e vamos ver o que

a
acontece quandoadotamos as coordenadas polares.

Figura 6: Coordenadas Polares.
Veja que cada subregi˜o, tem o formato da regi˜o maior como indica a figura 7
a
a
A ´rea de um c´
a
ırculo de raio r, como sabemos, ´
e
AC = πr2
Se temos dois c´
ırculos concentricos de raios r1 , r2 com r1 < r2 , ent˜o a ´rea da regi˜o
a
a
a
R (chamada coroa circular) compreendida entre as duas circunferˆncias ´:
e
e
22
AR = π (r2 − r1 )

A ´rea de um setor circular de raio r e de ˆngulo θ ´
a
a
e
AS =

θ.r2
2

Logo, a ´rea de um peda¸o de abertura θ de uma coroa circular com raio menor r1 e
a
c
raio maior r2 ´:
e
2
2
θ.(r2 − r1 )
A=
2
3

Rij

∆r

∆θ

Figura 7: Coordenadas Polares.

Desta a forma a ´rea da regi˜o indicada no lado direito da figura 7 ´
a
a
e
Aij =

∆θ.[(r2− r1 )(r2 + r1 )]
2

Sendo ∆r = r2 − r1 , segue que
Aij =

∆θ.[∆r(r2 + r1 )]
2

Da´
ı,
• Particionando a Regi˜o em subregi˜es Rij cada vez menores, teremos r1 e r2 cada
a
o
vez mais pr´ximos do mesmo valor, a saber, ri ;
o
• Seja ||∆|| a norma da parti¸˜o, isto ´, a maior ´rea das subregi˜es;
ca
e
a
o
• Escolhendo um ponto dentro da subregi˜o, digamos, P (ri , θj ), temos a somade
a
Riemann dada por:
S = lim
f (ri , θj ).Aij
||∆||→0

isto ´
e
S = lim

||∆||→0

f (ri , θj ).

∆θ.[∆r(r2 + r1 )]
= lim
||∆||→0
2

f (ri , θj ).

∆θ.[∆r(2ri )]
2

• Assim
S = lim

f (ri , θj ).ri .∆θ.∆r

||∆||→0

donde podemos definir
f (r, θ)dA = lim
R

||∆||→0

f (ri , θj ).ri .∆θ.∆r =

f (r, θ).r.dθ.dr
R

4

• Se o raio da regi˜o varia de a a b eo ˆngulo de α1 a α2 , ent˜o
a
a
a
b

α2

f (r, θ).r.dθ.dr =

f (r, θ).r.dθ.dr

R

a

α1

Exemplo 0.0.1 Use coordenadas polares para encontrar a integral de f (x, y ) = 2x + 3y
sobre a regi˜o do plano limitada pelo quarto de circunferˆncia de raio 2 com centro na
a
e
origem contido no primeiro quadrante.

R
2

Figura 8: Quarto de Circunferˆncia.
e
Nesta regi˜o temos:a
r ∈ [0, 2]
θ ∈ [0, π/2]
Logo, a integral procurada ´:
e

π
2

2
0

f (r, θ)r.dθ.dr

0

Mas quem ´ f (r, θ)? Vejamos:
e
x = r. cos θ,

y = r.senθ

Assim
f (x, y ) = 2x + 3y = 2.(r cos θ) + 3.(rsenθ) = r(2 cos θ + 3senθ)

5

Da´
ı
π
2

2
0

π
2

2

f (r, θ)r.dθ.dr =

0

0

[r(2 cos θ + 3senθ)]r.dθ.dr

0
π
2

2

=
0

[r2 (2 cos θ +3senθ)].dθ .dr

0
2

=
0
2

=

π/2

r2 .(2senθ − 3 cos θ)0

.dr

r2 [(2sen(π/2) − 3 cos(π/2)) − (2sen0 − 3 cos 0)] .dr

0
2

=

r2 [(2.1 − 3.0) − (2.0 − 3.1)] .dr

0
2

=

5r2 dr

0

=

5.

40
=
3

r3
3

2
0

C´lculo de ´reas
a
a
J´ sabemos que quando uma fun¸ao f : Ω ∈ R2 −→ R ´ positiva ent˜o a integral dupla de
a

e
a
f sobre Ω nos d´ o...
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