Coordenada polar

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coordenada polar -Cálculo III a
Sebasti˜o Martins Xavier a 27 de julho de 2009

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Sum´rio a
1 Coordenadas Polares 3 1.1 Rela¸˜o entre as coordenadas polares e as cartesianas . . . . . 5 ca 1.2 Gr´ficos de equa¸˜es em coordenadas polares . . . . . . . . . . 7 a co 1.3 Procedimentos pra tra¸ar gr´ficos em coordenadas polares . . 9 c a 1.4 Inclina¸˜o da reta tangente ao gr´fico em coordenadaspolares ca a 9 1.5 Interse¸˜o de gr´ficos em coordenadas polares . . . . . . . . . 13 ca a ´ 1.6 Area de uma regi˜o em coordenadas polares . . . . . . . . . . 18 a 2 Fun¸˜es Vetoriais co 2.1 Fun¸˜es Vetoriais e equa¸˜es param´tricas no plano . . . . co co e 2.2 C´lculo de Fun¸˜es Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . a co 2.3 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4Movimento no plano, vetor velocidade e vetor acelera¸˜o . ca 2.5 Vetores Normais e Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Fun¸˜es vetoriais e equa¸˜es param´tricas no espa¸o . . . . co co e c 2.7 Comprimento de arco e vetor tangente de curvas espaciais 3 Integra¸˜o M´ ltipla ca u 3.1 Integrais duplas sobre retˆngulos . . . . a 3.2 C´lculo das integrais iteradas . . . . . . a 3.3 Integraisduplas sobre regi˜es mais gerais o ´ 3.4 Areas pela integra¸˜o dupla . . . . . . . ca 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 . . . . . . . . . . . . . . 23 23 25 29 32 33 40 41

44 . . . . . . . . . . . . 44 . . . . . . . . . . . . 46 . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 53 57 59 64 65

. . . . Integrais duplas em coordenadaspolares . . . . Mudan¸a de coordenadas em integrais duplas . c Integrais Triplas em coordenadas cartesianas . . Mudan¸as de coordenadas em integrais triplas . c Coordenadas cil´ ındricas e coordenadas esf´ricas e

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Coordenadas Polares

Habitualmente localizamos pontos no plano por meio de suas coordenadas cartesianas retangulares. Nesta se¸˜o estudaremos um outro sistema de cacoordenadas denominado sistema de coordenadas polares. No sistema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto P consistem de uma distˆncia a orientada r e da medida de um ˆngulo orientado θ em rela¸˜o a um ponto a ca fixo fixo O e a uma semirreta OA(semirreta das abscissas). O ponto fixo O ´ denominado p´lo e a semi-reta OA ´ denominada eixo polar. Veja figura: e o e

Figura 1: Eixo Polar

Oˆngulo orientado θ, medido em radianos, ´ positivo quando medido no a e sentido anti-hor´rio e negativo quando medido no sentido hor´rio. Se r = 0 a a ´ no sistema de coordenadas polores, temos que o ponto (r, θ) coincide com e a o p´lo O, n˜o importando qual seja o ˆngulo θ. Tamb´m, ´ conveniente o a a e e admitir r negativo, convencionando que o ponto (−r, θ) est´ localizado a |r| a o unidades dop´lo, mas numa semirreta oposta a de θ , isto ´, sobre o raio o e o o o θ + π. Assim, (−r, θ ) = (r, θ + π). Ao contr´rio do sistema de coordenadas a retangulares, um ponto tem muitas representa¸˜es distintas no sistema de co o coordenadas polares. Na verdade, (r, θ ) = (r, θo + 2nπ), onde n ∈ Z. Por exemplo, P = (4, 5π ) = (−4, 2π ) = (4, − π ), veja figura. 3 3 3 Observa¸˜o 1. Quando for dito:”Determine o ponto polar (r, θ)”, ou ”Deca termine o ponto (r, θ) no sistema de coordenadas polares”’, vocˆ deve desee nhar um diagrama mostrando o p´lo, o eixo polar e o ponto P, cujas coordeo nadas polares s˜o (r, θ). a Exemplo 1. Determine todas as coordenadas polares do ponto P (2, π ). 6 SOLUCAO: Primeiro esbo¸amos o eixo polar do sistema de coordena¸˜ c das, depois a semirreta a partir da origem queforma um ˆngulo de π radianos a 6

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Figura 2: Sistema de Coordenadas Polares

com o raio inicial e marcamos o ponto P (2, π ), veja figura. Agora determina6 mos os ˆngulos para os outros pares de coordenadas polares para o ponto P a nos quais r = 2 e r = −2. O ponto P (2, π ) tem infinitos pares de coordenadas 6

Figura 3: exemplo 1

polares. Para r = 2, a lista completa de...
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