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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MATEMÁTICA II

01) Um certo tipo de vírus tem diâmetro de 0,02x10-3 mm. Admita que uma colônia desses vírus pudesse ocupar totalmente uma superfície plana de 1 cm2 de área, numa única camada, com a disposição mostrada na figura abaixo.

[pic]

O número máximo de indivíduos dessa colônia é:

|a) 4 x 106 |b) 25 x 106 |c) 25 x 1010 |
|d) 25 x 1012|e) 50 x 1012 | |

|Alternativa C |

Temos que
0,02x10-3 mm = 2x10-5 mm = 2x10-6 cm
Área do quadrado = 2x10-6 x 2x10-6 = 4x10-12 cm2
Então n = [pic] = 0,25x1012 = 25x1010 indivíduos

02) Uma equação do 2o grau que tem por raízes os números complexos 2 + i109 e 2 - i425 é:

|a) x2 + 4x + 5 = 0 |b) x2 + 4x - 5 = 0 |
|c) x2 + 5x+ 4 = 0 |d) x2 - 4x - 5 = 0 |
|e) x2 - 4x + 5 = 0 | |

|Alternativa E |

Temos que i109 = i e i425 = i
Logo as raízes são: x1 = 2 + i e x2 = 2 - i
Sabemos que:
x2 - sx + p = 0 e s = 4 e p = 5
Assim, uma equação é x2 - 4x + 5 = 0

03) A soma dos 9 primeiros termos da seqüência (1, 2x, 4x, 8x, ...),na qual x é um número real maior que 1, é:

a) [pic] b) [pic] c) 512x - 1

d) 256x - 1 e) 511

|Alternativa A |

(1, 2x, 4x, 8x, ...) é o mesmo que (1, 2x, 22x, 23x, ...)
Isto é, P.G. de razão q = 2x.
A soma dos 9 primeiros termos é:
S9 = [pic], isto é:
S9 = [pic] ou ainda S9 = [pic]

04) Se o número real x é tal que x = a + [pic], então a3 + [pic] éigual a

|a) x3 - 3x |b) x3 - 2x |c) x3 - x |
|d) x3 + x |e) x3 | |

|Alternativa A |

x = a + [pic]
Elevando a 3 m.a.m. temos:
(x)3 = [pic]
x3 = a3 + 3.a2.[pic] + 3.a.[pic]+ [pic]

x3 = a3 + 3a + [pic] + [pic]( x3 - 3a - [pic] = a3 + [pic]

x3 - 3.[pic] = a3 + [pic]( x3 - 3x = a3 + [pic]

05) Sabe-se que opolinômio
P(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1
é divisível pelo polinômio
Q(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1.
Sobre as raízes de P(x), é verdade que

a) duas delas são imaginárias puras e três delas são reais.
b) as cinco são reais e de multiplicidade 1.
c) três são iguais a -1 e as duas outras são reais e distintas.
d) as cinco são reais e iguais.
e) 1 é raiz demultiplicidade 2 e -1 é raiz de multiplicidade 3.

|Alternativa D |

Note que
P(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1 é o mesmo que:
P(x) = (x + 1)5
Logo, as raízes de P(x) são:
x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = -1

06) José está juntando dinheiro para comprar uma filmadora. Se tivesse o triplo da quantia que tem, poderia comprá-la e ainda lhe sobrariam R$ 170,00. Seu irmãoofereceu-lhe R$ 250,00 emprestados, mas ele não aceitou, pois mesmo com esse empréstimo, se tivesse o dobro da quantia que tem, ainda faltariam R$ 70,00 para inteirar o preço da máquina.
Nessas condições, é verdade que

a) o preço da filmadora é R$ 1 300,00.
b) o preço da filmadora é R$ 980,00.
c) o preço da filmadora é R$ 620,00.
d) José possui R$ 740,00.
e) José possui R$ 450,00.|Alternativa A |

x ( quantia
y ( preço
y = 3x - 170 ( y = 250 + 2x + 70 isto é:
[pic] , logo x = 490 e y = 1300

07) Seja a reta s, de equação x - y + 1 = 0, e o ponto A = (3, 4). Traçamos por A a reta t perpendicular a s e, pela origem O, s reta r paralela a s. A intersecção de r com t é o ponto B, e a de t com o eixo das abcissas é o ponto C.
No triângulo OBC, o lado[pic] e os ângulos agudos internos medem, respectivamente,

a) [pic], 15o e 75o b) [pic], 30o e 60o
c) [pic], 45o e 45o d) [pic], 20o e 70o
e) [pic], 45o e 45o

|Alternativa C |

(s) x - y + 1 = 0
(t) x + y - 7 = 0
(r) x - y = 0
r ( t ( [pic] ( B [pic]

[pic] = [pic]+ [pic] ( [pic]

08) Para uma certa máquina, o custo total na produção de um lote de x peças é...
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