Controlabilidade

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA

Controlabilidade
Disciplina de Controle de Processos

Douglas Camponogara Prof: Vin´ ıcius Foletto Montagner

Santa Maria, Brasil Dezembro de 2010

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Quest˜o 1) a
Prove o teorema abaixo: A controlabilidade ´ invariante sob qualquer transforma¸˜o de equivalˆncia. e ca e Sendo um sistema cont´ ınuo no tempo definido por: x = Ax + Bu ˙ y = Cx + Du Sendo sua matriz de controlabilidade definida por: C = [B|AB|A2 B|...|An−1 B] (2) (1)

Definindo P como uma matriz de transforma¸˜o, n˜o-singular, tem-se um novo conjunto de ca a vari´veis de estado. a x = Pz Logo: P.z = AP z + Bu ˙ z = P −1 AP z + P −1 Bu ˙ Sendo sua matriz de controlabilidade definida por: Cz = [P −1 B|P −1 AP P −1 B|(P −1 AP )2 P −1 B|...|(P −1 AP )n−1 P −1 B] Cz = [P −1 B|P −1 AP P −1 B|P −1 AP P −1 AP P −1 B|...|(P −1 AP )...P −1 B] Simplificando a equa¸˜o (7). ca Cz = [P −1 B|P −1 AB|P −1 A2 B|...|P −1 An−1 B] Aplicando a propriedade da distribui¸˜o na equa¸˜o acima, tem-se: ca ca Cz = P −1 [B|AB|A2 B|...|An−1 B] = P −1 C (9) (8) (6) (7) (4) (5) (3)

Como foi definido que a matriz P ´ n˜o-singular, logo ´ poss´ obter sua inversa. Al´m disso, e a e ıvel e sabe-se que a matriz inversa de uma matriz invers´ ´ tamb´m invers´ ıvel e e ıvel. Logo o determinante da inversa da matriz P ´ diferente de zero. e O rank de uma matriz ´ completo quando a mesma possui determinante n˜o-nulo. Portanto se e a a matriz C possui rank completo, a matriz Cz tamb´m possuir´, o que prova que a controlabilidade e a de um sistema n˜o varia sob qualquer transforma¸˜o de equivalˆncia. a ca e

2

Quest˜o 2) a
Prove a equivalˆncia entre 1 e 2: e 1) O par (A,B) ´ control´vel. e a 2) A matriz de controlabilidade nxnp C = [B|AB|A2 B|...|An−1 B] tem rank n (rank completo de linhas). (10)

Assumindo o sistema abaixo: x = Ax + Bu ˙ y = Cx + Du Temos que a solu¸˜o ´ dada por: ca e t (11)

x(t) = eAt x(0) +
0

eA(t−τ ) Bu(τ )dτ

(12)

Representando