Controlabilidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA

Controlabilidade
Disciplina de Controle de Processos

Douglas Camponogara Prof: Vin´ ıcius Foletto Montagner

Santa Maria, Brasil Dezembro de 2010

1

Quest˜o 1) a
Prove o teorema abaixo: A controlabilidade ´ invariante sob qualquer transforma¸˜o de equivalˆncia. e ca e Sendo um sistema cont´ ınuo no tempo definido por: x = Ax+ Bu ˙ y = Cx + Du Sendo sua matriz de controlabilidade definida por: C = [B|AB|A2 B|...|An−1 B] (2) (1)

Definindo P como uma matriz de transforma¸˜o, n˜o-singular, tem-se um novo conjunto de ca a vari´veis de estado. a x = Pz Logo: P.z = AP z + Bu ˙ z = P −1 AP z + P −1 Bu ˙ Sendo sua matriz de controlabilidade definida por: Cz = [P −1 B|P −1 AP P −1 B|(P −1 AP )2 P −1 B|...|(P −1 AP )n−1 P −1 B]Cz = [P −1 B|P −1 AP P −1 B|P −1 AP P −1 AP P −1 B|...|(P −1 AP )...P −1 B] Simplificando a equa¸˜o (7). ca Cz = [P −1 B|P −1 AB|P −1 A2 B|...|P −1 An−1 B] Aplicando a propriedade da distribui¸˜o na equa¸˜o acima, tem-se: ca ca Cz = P −1 [B|AB|A2 B|...|An−1 B] = P −1 C (9) (8) (6) (7) (4) (5) (3)

Como foi definido que a matriz P ´ n˜o-singular, logo ´ poss´ obter sua inversa. Al´m disso, e a eıvel e sabe-se que a matriz inversa de uma matriz invers´ ´ tamb´m invers´ ıvel e e ıvel. Logo o determinante da inversa da matriz P ´ diferente de zero. e O rank de uma matriz ´ completo quando a mesma possui determinante n˜o-nulo. Portanto se e a a matriz C possui rank completo, a matriz Cz tamb´m possuir´, o que prova que a controlabilidade e a de um sistema n˜o varia sob qualquer transforma¸˜ode equivalˆncia. a ca e

2

Quest˜o 2) a
Prove a equivalˆncia entre 1 e 2: e 1) O par (A,B) ´ control´vel. e a 2) A matriz de controlabilidade nxnp C = [B|AB|A2 B|...|An−1 B] tem rank n (rank completo de linhas). (10)

Assumindo o sistema abaixo: x = Ax + Bu ˙ y = Cx + Du Temos que a solu¸˜o ´ dada por: ca e
t

(11)

x(t) = eAt x(0) +
0

eA(t−τ ) Bu(τ )dτ

(12)

RepresentandoeAt atrav´s da S´rie de Taylor, tem-se: e e tn t2 2 A + ... + An + ... 2! n! Logo a Equa¸˜o (12) pode ser escrita da seguinte maneira: ca eAt = I + tA +
t

(13)

x(t) − eAt x(0) =
0

[I + A(t − τ ) + A2
t

(t − τ )2 + ...]Bu(τ )dτ 2
t

=B
0

u(τ )dτ + AB
0 t

(t − τ )u(τ )dτ

+ A2 B
0

0, 5(t − τ )2 u(τ )dτ + ...  A B
2

=

B

AB

...

    

u(τ )dτ t (t −τ )u(τ )dτ 0 t 0, 5(t − τ )2 u(τ )dτ 0 . . .

t 0

      (14)

Pode-se dizer que o sistema (A,B) ´ control´vel apenas se a Equa¸˜o (14) apresentar uma e a ca solu¸˜o v´lida para todos os casos. ca a Sabe-se que para qualquer y uma solu¸˜o x existe em y = Ax se e somente se A possuir rank ca completo. Logo, assumindo que a matriz A ´ a matriz de controlabilidade, temos que a Equa¸˜o eca (14) apresenta uma solu¸˜o se e somente se a matriz de controlabilidade possuir rank completo. ca

3

Quest˜o 3) a
Calcule u2 (t) para transferir o sistema do mesmo estado inicial ao repouso em 4 segundos. Dado um sistema representado por equa¸˜es de estado: co x1 ˙ = x2 ˙
−k1 b1

0
−k2 b2

0

x1 + x2

1 b1 1 b2

u

(15)

Considere k1 = k2 = 1, b1 = 2 e b2 = 1. Dados x1(0) = 10, x2 (0) = −1. Sabe-se que a lei de controle que leva do estado inicial ao estado final ´ dada por: e
−1 u(t) = −B eA (t1 −t) Wc (t1 )(eAt1 xinicial − xf inal )

(16)

Calculando o gramiano da fun¸˜o para 4 segundos: ca
t

Wc (t) =
0 4

eAτ BB eA τ dτ 0, 5 1 e−0,5τ 0 0 dτ e−τ

(17)

Wc (4) =
0

e−0,5τ 0

0 e
−τ

0, 5

1

(18) (19)

Wc (4) = Aplicando o gramianocalculado em (16): u2 (t) = 0, 5 1 e−0,5(4−t) 0

0, 2454 0, 3325 0, 3325 0, 4998

0 e
−(4−t)

−1 Wc (4)

e−2 0

0 e−4

10 −1

(20) (21)

u2 (t) = 0.6883et − 3.8184e0,5t , t ∈ [0, 4]

Assim, tem-se a fun¸˜o de entrada necess´ria para transferir o sitema da condi¸˜o inicial para ca a ca o repouso em 4 segundos.

4

Quest˜o 4) a
Repita a simula¸˜o do sinal de controle u1 (t)...
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