Conjuntos difusos

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Teoria dos conjuntos difusos
Documento complementar à dissertação José Iria – ee06210@fe.up.pt - 10-03-2011

. A teoria dos conjuntos difusos foi proposta por Lotfi Zadeh num artigo publicado em 1965 na revista Information and Control, intitulado com simplicidade "Fuzzy Sets". O aspecto mais fácil de se compreender na teoria dos conjuntos difusos é que ela substitui a lógica binária(verdadeiro - falso) da teoria dos conjuntos clássica, traduzida na álgebra de Boole, por uma lógica em que o grau de verdade de uma afirmação pode assumir uma contínuo de valores entre 0 e 1 como, por exemplo, afirmar que 2.98 = 3, embora com um grau de verdade de apenas 0.9, afirmação que não é estranha a engenheiros habituados a trabalhar com estimativas e arredondamentos. Um outro aspecto importante é oque se refere à capacidade de a teoria dos conjuntos difusos poder representar expressões linguísticas qualitativas como, por exemplo, afirmar que uma pessoa é alta, em vez de se exprimir esta grandeza por um número real como 1.90 m. A teoria dos conjuntos difusos pode ser encarada como uma extensão lógica n-valente quando o número de valores lógicos admissíveis tende para o infinito. Esteaspecto pode ser apreciado de forma mais efectiva recordando que na lógica de Boole são utilizados dois valores lógicos, passando a um número infinito quando se consideram conjuntos imprecisos. Deste modo, pode afirmar-se que dado um universo X e um subconjunto X1 de X, o grau de pertença de um elemento x1 ao conjunto X1 tomará valores: - No conjunto {0,1} na lógica de Boole; - No intervalo [0.0, 1.0]no caso dos conjuntos difusos. O conceito fundamental associado à definição de um conjunto difuso é o conceito de "função de pertença". Na teoria clássica dos conjuntos, com a sua lógica booleana ou bivalente, dado um universo e um conjunto A nele definido, estabelece-se uma relação de pertença relativamente a cada elemento x nesse universo, tal que dois casos se dão: ou x pertence a A ou x nãopertence a A. Dito de outro modo, poderíamos definir uma função de pertença

*

+

( )

{

(

)

ou seja, todos os elementos que pertençam a A têm valor de pertença 1 e todos os outros têm valor de pertença 0. Poderíamos também dizer que se aceita apenas um valor binário de verdade (verdadeiro ou falso) para uma afirmação do tipo "y pertence a A". A teoria dos conjuntos difusos vemrelaxar a restrição que condiciona P a assumir valores apenas no conjunto discreto {0, 1}; em vez disso, aceita-se que o valor de verdade ou de pertença possa ser representado por um número real qualquer no intervalo unit ário [0, 1]. Desta forma, dados dois elementos, poderemos ter que um se identifique mais com o conceito subjacente à formação do conjunto A do que outro. Por exemplo, poderemos terx com valor de pertença 0.8 e y com valor de pertença de apenas 0.3 mas alguma coisa neles ainda estabelece uma ligação, em graus diferentes, com o conjunto A.

Figura 1.1 - Conjunto difuso "pessoas altas", representado pela sua função de pertença – adaptado de [Ferreira e Silva, 2004]

Dados quatro cidadãos e as respectivas alturas: - António - 1,80 m - João - 1,60 m - Ana - 1,69 m - Pedro -1,73 m Poderíamos pois relacioná-los com o conjunto das pessoas altas C mediante distintos valores de pertença a esse conjunto: - António - 1,80 / 1.0 - João - 1,60 / 0.0 - Ana - 1,69 / 0.4 - Pedro - 1,73 / 0.85

Definitivamente, 1,60 m não é altura de pessoa alta e por isso o valor de pertença é zero. Por outro lado, 1,80 é inequivocamente a altura de uma pessoa alta e por isso o valor depertença é 1. Os outros casos são intermédios. A figura 2.1 representa o conjunto difuso "pessoas altas" com o eixo das abcissas representando as alturas possíveis e o eixo das ordenadas representando o respectivo valor de pertença. Há quem represente um conjunto difuso só pela sua função de pertença, e há que o represente pelo conjunto dos pares ordenados {elemento/valor de pertença}, em particular...
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