Circulo de mohr

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ESTADO PLANO DE TENSÃO
EQUAÇOES EPT
CIRCULO DE MOHR
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ABSOLUTA





















14/11/2012


1. INTRODUÇÃO


Esse trabalho tem o objetivo entender o desenvolvimento e a dedução de uma formula para a determinação da tensão normal em um plano de orientação arbitraria naquele ponto. Rotação de um elemento de volume em relação aoseixos principais de tensão. Como as transformações de tensão podem ser descritas por três diferentes círculos de Mohr.




























2. DESENVOLVIMENTO






1. ESTADO PLANO DE TENSÃO

Considera-se, agora, um estado de tensão mais geral num elemento onde não só atua tensão normal em uma direção, mas em duas direções. Tal situação éconhecida como tensões biaxiais. Distinguindo-se, assim da tensão em uma direção, ou uniaxial.
As tensões biaxiais aparecem em análise de vigas, eixos, chapas etc. No momento, o interesse é determinar as tensões normais e tangenciais num dado plano de um estado de tensão.
Seja, então, uma chapa retangular com espessura unitária com tensões normais e tangenciais atuando sob esta chapa com umaconvenção de sinais definida seguindo a Fig. 9

[pic]
Fig. 9 - Tensões no estado Plano


Tensão Normal:
σ > 0 → TRAÇÃO
σ < 0 → COMPRESSÃO


Tensão Tangencial:

Escolhe-se uma face, se σ for de tração e concordar com o eixo x ou y para ser positivo,
caso σ seja de compressão e concordar com o eixo x ou y, τ para ser positivo, terá de discordar do sentido positivo de x ou de y.De um modo geral, o objetivo do estudo é obter as tensões normais e/ou tangenciais em um plano genérico que corta a chapa numa direção qualquer.
Graficamente temos:

[pic]
Fig. 10 - Tensões no estado Plano
[pic][pic]

Fig. 11 - Tensões no estado plano

Obs: Teorema de Cauchy: este teorema garante a igualdade de tensões tangenciais em planos normais entre si. Assim por equilíbrio demomentos no C.G. da chapa
[pic]

Analisando agora o equilíbrio de forças na região ABC, pela transformação das tensões atuantes em forças temos a seguinte situação:

[pic]
[pic]

[pic]

[pic]

Estas equações são as expressões gerais para tensão normal e tangencial, respectivamente, em qualquer plano definido pelo ângulo 0 e provocadas por um elenco de tensões conhecidas.Essas equações também podem ser retratadas como as expressões de transformação de tensão de um conjunto de eixos coordenados a outro (no caso (x.y) para ( x e y ).
Sinteticamente: conhece-se σ x ,σ y e τ xy e se quer: σ x ,σ y e τ xy
Para o cálculo de σ utiliza-se o ângulo:
[pic]
Fig. 12 - Tensão σ_
α = θ + 90º, substituindo-se na equação de σ.


[pic]

Podem-se colocaras expressões de transformação de coordenadas na forma matricial, escrevendo:
[pic]

[pic]


Sendo [M] a matriz de transformação e [M]T a sua transposta.


2. TENSÕES PRINCIPAIS


Frequentemente, no estudo das tensões, o interesse está voltado para a determinação da maior e da menor tensão, dadas pelas expressões de σx σy e τxy (caso plano) e, também, em que planosocorrem tais tensões.
Para isto se faz:
[pic]
Assim concluímos que:

101 = é o ângulo que determina qual o plano onde atuam as tensões máximas.

201 = pode ser dois valores e estes se defasam de 180 º. Num certo valor de O'1 atua a máxima tensão normal e noutro valor O''1 defasado de 90 º atua a mínima tensão normal.
Para saber qual o plano em que atua uma determinada tensão, por exemplo õ1 ,basta substituir na fórmula [pic], o valor de õ por õ1 e determinar o õ x e comparar com õ1 e õ2, se der õx = õ1 então õ1 indica o plano de õ1 .
Para O1 que determina às máximas tensões normais as tensões tangenciais são nulas.
Os planos em que atuam as máximas tensões são chamados de planos principais de tensão e as tensões máximas são chamadas tensões principais.
Análise Gráfica de tg...
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