Cinematica da particula

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1. CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS 1.1. Movimento Retilíneo das Partículas 1.1.1. Posição, velocidade e aceleração Se uma partícula se desloca ao longo de trajetória retilínea, diz-se que ocupa certa posição na reta. Para definir a posição P da partícula, escolhe-se uma origem O fixa na reta e um sentido positivo ao longo dela. Mede-se a distância x de O a P e atribui-se um valor positivo ou negativode acordo com o sentido positivo escolhido. Esta distância x define completamente, com o sinal adequado, a posição da partícula e é chamada de coordenada de posição da partícula. P O
x

Quando a coordenada de posição de uma partícula for conhecida para qualquer instante de tempo t, diz-se que o movimento da partícula é conhecido. Ex.: x = 6t 2 − t 3 . Considere que a posição P da partícula em umdado instante t é x e em t + ∆t sua posição P’ é x + ∆x. A velocidade escalar média da partícula no intervalo de tempo ∆t é definida como a razão entre o deslocamento ∆x e o intervalo de tempo e sua unidade no SI é m/s.
vm = ∆x ∆t

A velocidade escalar instantânea (ou simplesmente velocidade) da partícula no instante t é obtida da velocidade escalar média, considerando-se que o intervalo detempo tende a zero.
v = lim ∆x dx = ∆t →0 ∆t dt

Um valor positivo de v significa que x aumenta com o tempo. Se negativo, x diminui com o tempo. P
v>0 x v 0 e v > 0 – a partícula se desloca mais rapidamente no sentido positivo; a < 0 e v > 0 – a partícula se desloca mais lentamente no sentido positivo; a > 0 e v < 0 – a partícula se desloca mais lentamente no sentido negativo; a < 0 e v < 0 – apartícula se desloca mais rapidamente no sentido negativo.

Utilizando a “regra da derivação em cadeia”, pode-se escrever a aceleração da forma abaixo:
a= dv dv dx dv = =v dt dx dt dx

Ex.: Considere que o movimento de uma partícula é dado por x = 6t 2 − t 3 . A velocidade v em qualquer instante t é obtida derivando-se x em relação a t.
v= dx = 12t − 3t 2 dt

Por sua vez, a aceleração a éobtida derivando-se v em relação a t. a= dv = 12 − 6t dt

A posição, a velocidade e a aceleração podem ser representadas em um gráfico como função do tempo. As curvas obtidas denominam-se diagramas de movimento.

36 32 28 24 20 16 12 8 4

x (m)

t (s) 0 0 2 4 6 8

Figura 1.1-a – Diagrama posição-tempo

1-2

16 12 8 4 0 -4 0 -8 -12 -16 -20 -24 -28 -32 -36 -40

v (m/s)

t (s) 2 46 8

Figura 1.1-b – Diagrama velocidade-tempo
16 12 8 4 t (s) 0 -4 -8 -12 -16 -20 -24 -28 0 2 4 6 8 a (m/s)

Figura 1.1-c – Diagrama aceleração-tempo

1.1.2. Determinação do movimento de uma partícula
Na prática, o movimento de uma partícula é raramente definido por uma relação entre posição x e tempo t. Muitas vezes, as condições de movimento estarão especificadas pelo tipo de aceleraçãoque a partícula possui. Ex.: um corpo em queda livre; sua aceleração será constante, dirigida para baixo e igual a 9,81 m/s². As 3 classes mais comuns de movimento são: a) a aceleração é uma dada função do tempo b) a aceleração é uma dada função da posição c) a aceleração é uma dada função da velocidade No primeiro caso: a=
v

dv = f (t ) dt
t



dv = f (t )dt
v = v0 + ∫ f (t )dt
0 t∫ dv = ∫ f (t )dt
v0 0



1-3

v=
x

dx dt
t

ou

dx = vdt
t

∫ dx = ∫ vdt
xo 0



x = x0 + ∫ vdt
0

No segundo caso:
a=v
v

dv = f (x ) dx
x



vdv = f ( x )dx
2 v 2 v0 x = + ∫ f ( x )dx 2 2 x0

∫ vdv =
v0


x0

f ( x )dx dx dt



v=
t

ou

dt =
x

dx v

∫ dt =
0

1 ∫ v dx x0

x



t=

x0

∫ v dx

1

No terceirocaso:
a= dv = f (v ) dt


ou

1 dv = dt f (v )


a=v

dv = f (v ) dx

v dv = dx f (v )

Exs.: 1) De uma janela de um prédio, localizada 20 m acima do solo, arremessa-se, verticalmente para cima, uma bola, com velocidade de 10 m/s. Sabendo-se que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81 m/s² para baixo, determinar: a) a velocidade v e a elevação da bola y, relativamente ao...
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