Centro de gravidade

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Geometria das Massas

Momento Estático de uma superfície:
Momento estático de um elemento de superfície, em relação a um eixo, situado no mesmo plano que a superfície considerada, é o produto da área do elemento pela distância ao eixo dado.
dMx=y.dA
dMy=x.dA

Figura 1 – Momento Estático (M)

Este é uma grandeza escalar com dimensão M= (L) 3, (L uma medida de comprimento qualquer) podendoser positivo, negativo ou nulo. É utilizado para a determinação das tensões transversais que ocorrem em uma peça submetida à flexão.
Integrando em relação à área A:
Mx=Ay.dA
My=Ax.dA
Que é igual momento estático de uma superfície plana finita, situada no mesmo plano que a superfície considerada.
O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a somatória dosMomentos Estáticos de cada figura.

Exemplo: Determinar o Momento Estático das figuras abaixo

M1,x = ycg1 . A1
M2,x = ycg2 . A2
M3,x = ycg3 . A3
___________________________
Mx = M1,x + M2,x+ M3,x
Elemento Vazado

Mx = M1,x - M2,x

Centro de Gravidade de uma Superfície Plana:
Centro de gravidade é o ponto onde passam todas as retas do plano da superfície, em relação às quais é nulo omomento estático. O centro de gravidade é o ponto de equilíbrio de uma superfície. Para algumas figuras, é o obvio o ponto do centro de gravidade; assim, se a figura é simétrica, como o círculo ou quadrado, o centro de gravidade coincide com o centro geométrico da figura.

Figura 2 – Centro de Gravidade ou Centro Geométrico (CG)

Matematicamente o centro de gravidade de um superfície plana, éigual a razão entre momento estático da superfície e a área total dela:
*Considerando a distribuição uniforme de massa, o centro de gravidade e o centro geométrico estão localizados no mesmo ponto.
x=Ax.dAAdA
y=Ay.dAAdA
Frequentemente, para fins práticos, decompõe-se a superfície em outras superfícies mais simples, a fim de facilitar o calculo, fazendo-se isso, basta calcular a razão entre osomatório dos momentos estáticos das respectivas figuras e o somatório das respectivas áreas.

Figura 3 – Centro de Gravidade de área composta (CG)
x=xi.AiAi
y=yi.AiAi

Exemplos:
1 - Determinar o centro de gravidade da figura abaixo:



2 - Determinar o centro de gravidade da figura hachurada:

Centro de gravidade de algumas figuras planas:

Momento de inércia de uma superfície:É um momento de segunda ordem, e numericamente define a resistência da superfície em questão. Por definição, os momentos de inércia do elemento infinitesimal dA em torno dos eixos x e y são dIx=y².dA e dIy=x².dA, e os momentos de inércia da superfície inteira é a integração dessas respectivas diferenciais.
Ix=Ay2dA
Iy=Ax2dA
Pode-se também escrever essas equações em coordenadas polares (em tornodo eixo z). Isso é denominado momento polar de inércia, em que r é a distância perpendicular do pólo (eixo z) ao elemento dA (r²=x²+y²) portanto:
Ix+Iy=Jo=Ar2dA
A unidade do momento de inércia é [L]2×[L]2=[L]4. O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a resistência da peça. Quanto maiorfor o momento de inércia da seção transversal de uma peça, maior a sua resistência.
Propriedade:
O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de inércia das figuras que a compõe.

Ix = I1,x + I2,x + I3,x

Figura – Centro de Gravidade de área composta (CG)


Exemplo:
Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa peloCG.





Translação de Eixos (Teorema de Steiner):

Considerando o momento de inércia Ix de uma área A em relação a um eixo x arbitrário, chamando de y a distância de um elemento de área dA até esse eixo, temos que:
Ix=Ay2dA
Podemos também chamar de d a distância do centro de massa dessa área A até o eixo x, e chamar a distância entre o eixo do centro de massa até o eixo da área dA...
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