Centro de gravidade

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 13 (3043 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 2 de março de 2013
Ler documento completo
Amostra do texto
D-1

Apˆndice D e

Propriedades Geom´tricas de Se¸˜es e co Transversais
D.1 Momento Est´tico a

Considere uma superf´ plana de ´rea A e dois eixos ortogonais x e y de seu plano mostrados na Figura ıcie a D.1. Seja dA um elemento diferencial de ´rea da superf´ a ıcie, o qual est´ genericamente posicionado com a rela¸˜o ao sistema de referˆncia adotado. ca e

Figura D.1: Elemento de ´readA numa area plana A. a ´ Define-se o momento est´tico de um elemento de area dA com rela¸˜o aos eixos x e y, respectivamente, a ´ ca como dMsx = ydA, dMsy = xdA. (D.1) (D.2)

Por sua vez, o momento est´tico ou momento de primeira ordem da ´rea A com rela¸ao aos eixos x a a c˜ e y s˜o obtidos somando-se a contribui¸˜o dos momentos est´ticos de cada elemento diferencial dA da a ca a se¸˜o. Logo, osmomentos est´ticos s˜o dados pelas seguintes integrais ca a a Msx = Msy =
A

ydA,
A

(D.3) (D.4)

xdA.

Supondo que as dimens˜es da se¸˜o estejam indicadas em cm, a unidade dos momento est´ticos Msx e o ca a 3. a Msy s˜o cm

D.2. Centro de Gravidade

D-2

Exemplo D.1 Determinar os momentos est´ticos Msx e Msy a D.2(a).

para a superf´cie ilustrada na Figura ı

(a) Sistema dereferˆncia na base. e

(b) Sistema de referˆncia no CG. e

Figura D.2: Elementos de ´rea numa se¸˜o retangular. a ca Inicialmente, calcula-se o momento est´tico em rela¸˜o ao eixo x. Para isso, utiliza-se (D.1) com o a ca elemento de area dA = bdy ilustrado na Figura D.2(a). A partir da express˜o (D.1) vem que ´ a
h

Msx =

ydA = b
A 0

b bh2 . ydy = y 2 |h = 2 0 2 h 2b hb2 x |0 = . 22

(D.5)

O momento est´tico Msy ´ obtido empregando (D.2) com o elemento de ´rea dA = bdx. Logo a e a
b

Msy =

xdA = h
A 0

xdx =

(D.6)

a c˜ Exemplo D.2 Determinar os momentos est´ticos Msx e Msy do retˆngulo da Figura D.2(b) em rela¸ao a aos eixos x e y que passam ao longo do centro de gravidade da se¸ao. c˜ O procedimento ´ an´logo ao do exemplo anterior devendo-se mudarapenas os limites de integra¸ao. e a c˜ Portanto h/2 b h/2 b h 2 h 2 ydA = b ydy = y 2 |−h/2 = − − = 0, (D.7) Msx = 2 2 2 2 A −h/2
b/2

Msy

=
A

xdA = h

−b/2

xdx =

h 2 b/2 h x | = 2 −b/2 2

b 2

2

− −

b 2

2

= 0.

(D.8)

Assim, os momentos est´ticos em rela¸ao aos eixos que passam pelo centro de gravidade s˜o nulos. a c˜ a

D.2

Centro de Gravidade

O centrode gravidade de uma superf´ plana de area A ilustrada na Figura D.2 ´ definido como sendo ıcie ´ e o ponto CG de coordenadas xG e yG dadas por Msy , (D.9) xG = A Msx yG = , (D.10) A

D.2. Centro de Gravidade

D-3

sendo Msx e Msy os momentos est´ticos da superf´ com rela¸˜o aos eixo x e y, respectivamente, e A ´ a ıcie ca e a ´rea da se¸˜o transversal. ca

Figura D.3: Centro de gravidadede uma ´rea plana. a Dada uma superf´ plana de ´rea A, adota-se o seguinte procedimento para determinar o seu centro ıcie a de gravidade: 1. Escolhe-se um sistema de referˆncia conveniente para o c´lculo do CG. Por exemplo, se a superf´ e a ıcie ´ sim´trica, deve-se colocar o sistema de referˆncia ao longo da simetria. e e e 2. Calculam-se os momentos est´ticos Msx = a
A ydA

e Msy =

A xdA.3. Determinam-se as coordenadas do centro de gravidade xG =

Msy Msx e yG = . A A

Exemplo D.3 Determinar o centro de gravidade da superf´cie da Figura D.2(a). ı Neste caso, os dois primeiros passos do procedimento anterior j´ foram efetuados no exemplo D.1. a Adotou-se o sistema de coordenadas xy conforme ilustrado na Figura D.2(a) e calcularam-se os momentos ´ a e c˜ a est´ticos Msx e Msy. Lembrando que a area do retˆngulo ´ A = bh, basta agora empregar as equa¸oes (D.9) e (D.10) para obter as coordenadas (xG , yG ) do centro de gravidade. Logo, hb2 Msy b = 2 = , A bh 2 bh2 h Msx = 2 = . A bh 2

xG =

yG =

Pode-se calcular os momento est´ticos Msx e Msy a partir da defini¸ao do centro de gravidade dada a c˜ em (D.9) e (D.10) conforme ilustrado na Figura D.2. Para isso,...
tracking img