Calculo

1-) Verifique se cada uma das funcoes abaixo sao solucoes da equacao de laplace uxx + uyy

= 0.

a-) u = sen(x)cosh(y) + cos(x)senh(y)

b-) u = e-xcosy ¡V e-ycosx

2-) Mostre que cada uma das seguintes funcoes e solucao da equacao da onda utt = a2uxx.

a-) u = sen(kx)sen(akt)

b-) u =

(a t x )

t

2 2 2 ƒ{

3-) A resistencia total R produzida por tres condutores com resistencia R1, R2 e R3

conectados em paralelo num circuito eletrico e dado pela formula:

1 2 3

1 1 1 1

R R R R

ƒ­ ƒy ƒy

Determine

1 R

R

„g

„g

4-) A lei dos gases para uma massa m de um gas ideal a temperatura absoluta T, pressao P e

volume V e PV = nRT onde R e a constante do gas. Mostre que: ƒ­ ƒ{1

„g

„g

„g

„g

„g

„g

P

T

T

V

V

P

5-) No estudo de penetracao do congelamento achou-se que a temperatura T no instante t

(medido em dias) a uma profundidade x (medida em pes) pode ser modelada pela funcao:

T(x,t) = T0 + T1eƒ{ƒÜx sen (ƒçt ƒ{ƒÜx) onde

365

2Ĉ

ƒç ƒ­ e ƒÜ e uma constante positiva.

a-) Determine

x

T

„g

„g . Qual seu significado fisico?

b-) Determine

t

T

„g

„g . Qual seu significado fisico?

c-) Mostre que T satisfaz a equacao do calor Tt = kTxx para uma certa constante k.

6-) A resistencia total R produzida por tres condutores com resistencia R1, R2 e R3

conectados em paralelo num circuito eletrico e dado pela formula:

1 2 3

1 1 1 1

R R R R

ƒ­ ƒy ƒy

Se as resistencias medem em ohms R1 = 25 Ă , R2 = 40 Ă e R3 = 50 Ă , com precisao de

0,5% em cada uma, estime o erro maximo no calculo da resistencia equivalente de R.

7-) A voltagem V num circuito eletrico simples esta decrescendo devagar a medida que a

bateria se descarrega. A resistencia R esta aumentando devagar com o aumento de calor do

resistor. Use a lei de Ohm, V = IR, para achar como a corrente I esta variando no momento

em que R = 400 Ă , I = 0,08 A, dV/dt = -0,01