calculo 2

Cálculo diferencial e integral II

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Integração de Funções Racionais
Seja a integral

P(x )
 D( x ) dx onde P ( x ) e D( x ) são polinômios na variável x. Se o numerador (dividendo) e o

denominador (divisor) de uma fração são polinômios, então a fração é chamada de racional.
1º TIPO: integrais na forma

k

 ax 2  bx  c dx

onde k ,a 



. Neste caso quando uma integral contiver

trinômios do 2º grau, procuraremos sempre transformar este trinômio de modo a obter um quadrado perfeito (TQP).
2

1º CASO: quando ax  bx  c é um TQP como, por exemplo:
5

 x 2  4x  4 dx . Assim, faremos:

5

5

2º CASO: quando ax 2  bx  c não é um TQP como, por exemplo:

 x 2  4x  8

dx  

5

 x 2 
 C .
2 

5

5
( x  2)2  12

dx  

5
( x  2)2  ( 12)

5

 x 2  4x  8 dx . Assim, faremos:

dx 
2

Observe que a expressão do 2º grau foi transformada em um TQP, mas nos deixou um resíduo positivo.
Neste caso usamos a seguinte expressão:

2º TIPO: integrais na forma

k

k

u 

 u 2  a2 du  a  arctg a   C .
 

mx  n

 ax 2  bx  c dx

onde m,a 



. Neste caso quando uma integral contiver

no numerador um polinômio do 1º grau e no denominador um polinômio do 2º grau, procuraremos sempre, através de um artifício algébrico, transformar este polinômio do 1º grau na derivada do denominador que é o polinômio do 2º grau.
Exemplo:

5

 x 2  4x  4 dx   ( x  2)2 dx   x  2  C .

5

5

 x 2  4x  8 dx   ( x  2)2  4 dx   ( x  2)2  22 dx  2  arctg


x  2(1  3)
5 3
 ln
C .
12
x  2(1  3)

3x  5

x 5/3

3

2x  10 / 3

3

2x  3  19 / 3

 x 2  3x  13 / 4 dx  3 x 2  3x  13 / 4 dx  2  x 2  3x  13 / 4 dx  2  x 2  3x  13 / 4 dx


3
2x  3
19
1
3
19
2
 x 2  3x  13 / 4 dx  2  x 2  3x  13 / 4 dx  2  ln x  3x  13 / 4  2  arctg  x  3 / 2   C
2

Observe que a integral,