Calculo 1

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RESOLUÇÃO DE LIMITES
O limite de uma função descreve o comportamento dessa função quando x se aproxima de um
determinado valor.
Assim, a notação lim f ( x)  L nos diz que, quando x se aproxima cada vez mais de a, mais
x a

próxima fica a função de L sendo esse, então, o seu comportamento.
Ao dizer que x se aproxima de a, estamos considerando que essa aproximação ocorre por 2
caminhosdiferentes: pela direita e pela esquerda.
Podemos resolver um limite construindo o gráfico da função e verificando qual é o seu
comportamento quando x tende a a; podemos também construir uma tabela de valores que indique qual
é esse comportamento; e podemos resolver um limite analiticamente, que é o processo mais usual e
mais simples.
Na resolução analítica de um limite o primeiro passo é asubstituição direta de x pelo valor a.
Se obtivermos como resposta um número real, o limite está resolvido.
Por exemplo:



1) lim x3  2 x  4
x 1



Substituindo x por -1:





lim x3  2 x  4  (1)3  2 (1)  4  1  2  4  3  2

x 1





Neste caso, mesmo sem construir o gráfico da função f ( x)  x3  2 x  4 , podemos afirmar
que, quando x se aproximade -1 pela direita e pela esquerda, a função se aproxima do valor

3 2 .
Observe que ao substituir o x por -1 a indicação de limite não mais aparece.

x 2  36
x 2 x  6
Substituindo x por 2:
2) lim

x 2  36 22  36 2  36
32


   4
x 2 x  6
26
8
8

lim



Podemos afirmar que, quando x se aproxima de 2 pela direita e pela esquerda, a função



x 2  36
seaproxima do valor -4.
x6
Observe que nos 2 exemplos resolvidos o valor para o qual x está tendendo são valores que
f ( x) 

estão

no

domínio

da

2  ao dominio de f ( x) 

x 2  36
x  6 x  6
Substituindo x por -6:
3) lim

função,

x 2  36
x6

ou

seja,

1 ao dominio de f ( x)  x3  2 x  4

e

x 2  36 (6) 2  36 36  36 0



x 6 x  6
6 6
0
0
lim






Neste caso, a substituição do valor de x resultou em

0
que não é um número real mas uma
0

indeterminação.
Observe que neste limite o x tende a -6 e que -6 não está no domínio da função.
Isto não significa que a função não tenha limite, mas que precisamos trabalhar algebricamente
essa função para levantarmos (acabarmos) com essa indeterminação.
Como afunção dada é racional e o numerador apresenta uma diferença entre dois quadrados ,
podemos fatorá-lo. Essa fatoração permite um simplificação com o denominador e, na função
equivalente resultante após simplificação, substituímos o x por -6. Assim:

x 2  36
( x  6) ( x  6)
 lim
 lim ( x  6)  6  6  12
x 6 x  6
x 6
x  6
x6
lim

x 2  36
 12
Logo, lim
x 6 x  6


Observe que enquanto a função está sendo operada algebricamente para possibilitar que a
indeterminação seja levantada, a indicação de limite se repete. Essa indicação só não se repete
mais quando substitui-se x por a.
Embora a função dada não esteja definida quando x  6 o seu limite existe. Isto porque o
limite de uma função descreve o seu comportamento quando x se aproxima de a, e não oque
ocorre com a função quando x  a .

x2  3
4) lim
x 2 x  2
Substituindo x por 2:
x 2  3 22  3 4  3 1



x 2 x  2
22
0
0

lim



Neste caso, a substituição do valor de x resultou em
indeterminação. Como fração numérica

1
que não é um número real e não é uma
0

1
não existe, mas no caso do limite que descreve o
0

1
representa um comportamento que édescrito através dos limites
0
laterais como  ou   (páginas 29 e 30 do livro didático)

comportamento da função,




Assim, precisamos calcular os limites laterais e determinar se o comportamento da função será
 ou   . Em outras palavras, precisamos determinar o sinal porque a resposta sempre será
expressa por  .
Observe que na substituição de x por 2 o sinal do...
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