Aula de calculo

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Aula 1 Velocidade instant^nea e derivadas a
1.1 Velocidade instant^nea a

Um ponto m¶vel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de um o ponto O.
∆s s 0 = s(t 0) s1 = s(t 0+ ∆t) s

O s=0

M s = s(t)

O deslocamento s, de M , em rela»~o ao ponto O, ¶ a dist^ncia de O a M , se M ca e a est¶ µ direita de O, e ¶ o negativo dessa dist^ncia se M est¶ µ esquerda de O.Assim, s ¶ aa e a aa e positivo ou negativo, conforme M se encontre, respectivamente, µ direita ou µ esquerda a a de O. Com estas conven»~es, a reta passa a ser orientada, o que chamamos de eixo, co sendo O sua origem. O deslocamento s depende do instante de tempo t, ou seja, s ¶ uma fun»~o da e ca vari¶vel t: a s = s(t) Em um determinado instante t0 , o deslocamento de M ¶ s0 = s(t0 ). Em um einstante posterior t1 , o deslocamento de M ¶ s1 = s(t1 ). e A velocidade m¶dia do ponto M , no intervalo de tempo [t0 ; t1 ] ¶ dada por e e vm = s1 ¡ s0 s(t1 ) ¡ s(t0 ) = t1 ¡ t0 t1 ¡ t0

Podemos tamb¶m escrever t1 = t0 + ¢t, ou seja, ¢t = t1 ¡ t0 , e tamb¶m e e ¢s = s(t1 ) ¡ s(t0 ) = s(t0 + ¢t) ¡ s(t0 ). 1

Aula 14 Taxas relacionadas. Diferenciais
14.1 Taxas relacionadas

Na linguagem doc¶lculo diferencial, se uma vari¶vel u ¶ fun»~o da vari¶vel v, a taxa a a e ca a du de varia»~o (instant^nea) de u, em rela»~o a v, ¶ a derivada ca a ca e . dv Em v¶rias problemas de c¶lculo, duas ou mais grandezas vari¶veis est~o relaa a a a cionadas entre si por uma equa»~o. Por exemplo, na equa»~o v1 =v2 = (sen µ1 )=(sen µ2 ), ca ca temos quatro vari¶veis, v1 , v2 , µ1 e µ2 , relacionadas entre si. aSe temos vari¶veis, digamos u, v e w, relacionadas entre si por uma equa»~o, a ca podemos ainda ter as tr^s como fun»~es de uma unica vari¶vel s. Por deriva»~o impl¶ e co ¶ a ca ³cita, ou µs vezes, por deriva»~o em cadeia, podemos relacionar as v¶rias derivadas du , dv e a ca a ds ds dw du dv , ou ainda, por exemplo, dv , dw , etc. Problemas em que duas ou mais grandezas ds vari¶veis est~ointer-relacionadas, e nos quais s~o levadas em conta as taxas de varia»~es a a a co instant^neas, de algumas grandezas em rela»~o a outras, s~o chamados, na literatura a ca a do c¶lculo, de problemas de taxas relacionadas. a Exemplo 14.1 Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio do topo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque come»a a encher-se c de ¶gua,a uma vaz~o constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que a a sobe o n¶ da ¶gua (dh=dt), em fun»~o da profundidade h. Com que velocidade a ³vel a ca ¶gua sobe no instante em que h = 0 ? a
1 Solu»~o. O volume da ¶gua quando esta tem profundidade h ¶ dado por V = 3 ¼r2 h, ca a e sendo r o raio da superf¶ (circular) da ¶gua. Veja ¯gura 14.1. ³cie a

Sendo R o raio do topo dacaixa, e H sua altura, por raz~es de semelhan»a de o c tri^ngulos, temos r=R = h=H, da¶ r = Rh=H. a ³

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Taxas relacionadas. Diferenciais

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R

R

r

H

r

H

h

h

Figura 14.1. Assim sendo, obtemos 1 V = ¼ 3 µ Rh H ¶2 h= ¼R2 3 h 3H 2

A taxa de varia»~o do volume de ¶gua no tempo, isto ¶, sua vaz~o, ¶ constante, ou seja ca a e a e dV = k (litros por minuto). dt dV dVdh dV = ¢ . Como = k, temos ent~o a Por deriva»~o em cadeia, temos ca dt dh dt dt k= ¼R2 2 dh dh kH 2 1 h ¢ , ou seja, = ¢ H2 dt dt ¼R2 h2

Assim, estabelemos que a velocidade de subida do n¶ da ¶gua ¶ inversamente ³vel a e proporcional ao quadrado de sua profundidade. Quando h = 0, temos, dh = +1. Na pr¶tica, este resultado nos diz que nossa a dt modelagem matem¶tica n~o nos permite determinar avelocidade de subida da ¶gua no a a a instante em que o tanque come»a a encher-se. c Exemplo 14.2 Uma escada de 5 m de comprimento est¶ recostada em uma parede. A a base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa (velocidade) de 2 cm/seg. Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada est¶ a a 3 m da parede ? Solu»~o. Na ¯gura 14.2 temos um diagrama...
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