Apostila de calculo 2

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APOSTILA

Cálculo Diferencial e Integral II

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

- UTFPR -

Professores: Lauro César Galvão Luiz Fernando Nunes

Cálculo II – (Lauro / Nunes)

ii

Índice
1 1.1 1.1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.4 1.5 2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.12.5.2 2.6 2.6.1 2.7 2.7.1 2.7.2 2.8 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 Integrais Impróprias ............................................................................ 1-1 Limites infinitos de integração ............................................................ 1-3 Testes de Comparação .......................................................................... 1-6 Integrandos comdescontinuidades infinitas ......................................... 1-8 Algumas aplicações das integrais impróprias ..................................... 1-14 Cálculo do comprimento de uma circunferência ................................. 1-14 Aplicações em estatística .................................................................... 1-15 Aplicações em transformadas integrais............................................... 1-15 Função Gama e Função Fatorial ......................................................... 1-16 Integrais Impróprias no Campo da Economia ..................................... 1-16 Resolvendo integrais impróprias com o uso do software MAPLE ...... 1-17 Exercícios Propostos ......................................................................... 1-17 Sistema de CoordenadasPolares e Integrais ........................................ 2-1 Como as abelhas se comunicam?......................................................... 2-1 Coordenadas Polares ........................................................................... 2-3 Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares ............................... 2-4 Caso Geral da Espiral deArquimedes................................................... 2-5 Constante ............................................................................................. 2-5 Caso Geral da Cardióide....................................................................... 2-6 Caso Geral do Caracol.......................................................................... 2-6 Caso Geral da Rosácea......................................................................... 2-7 Gráficos diversos em coordenadas polares........................................... 2-9 Equação do pólo (origem) .................................................................... 2-9 Equação que passa pela origem ............................................................ 2-9 Retas paralelas e perpendiculares ao eixo polar.................................. 2-10 Algumas circunferências .................................................................... 2-10 Limaçons ........................................................................................... 2-11 Cardióides .......................................................................................... 2-12 Lemniscata de Bernoulli..................................................................... 2-12 Espiral de Arquimedes ....................................................................... 2-12 Rosáceas ............................................................................................ 2-13 Áreas em Coordenadas Polares.......................................................... 2-14 Área de um Setor Circular.................................................................. 2-14 Áreas em Coordenadas Polares (dedução) .......................................... 2-14 Volume de Sólido Obtido pela Rotação de um Conjunto ................... 2-20 Volume em Coordenadas Polares ....................................................... 2-20 Fórmula do Volume Simplificada ....................................................... 2-22 Diferencial do Comprimento de Arco...
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