Apostila Calculo II

PUCRS - Faculdade de Matemática
Profa. Cláudia Batistela
Cálculo Diferencial e Integral II

T
Tóóppiiccoo

PPáággiinnaa

1 - Diferencial

1

2 - Integral Indefinida

3

3 - Integral Definida

15

4 – Técnicas de Integração

33

5 - Equações Diferenciais

42

6 - Sequências e Séries

52

D
Diiffeerreenncciiaall
Seja y = f (x ) uma função derivável e dx uma variável independente denominada diferencial dx.
A diferencial dy é uma variável dependente tanto de x quanto de dx definida por: dy = f ' (x ) dx
Se dx ≠ 0 podemos ainda expressar esta relação por

dy
= f ' (x ) dx Significado geométrico
O significado geométrico das diferenciais pode ser melhor compreendido com o auxílio das figuras abaixo. Observe na Fig. 1 que f ' (x ) é a inclinação da reta tangente de f em x. Vamos considerar um acréscimo de ∆x = dx unidades a x. Nestas condições, temos que:
●

∆y representa a variação em y que ocorre quando começamos em x e nos movemos ao

longo da curva y = f (x ) até que ∆x (= dx ) unidades sejam percorridas no eixo x.
●

dy representa a variação em y que ocorre quando começamos em x e nos movemos ao

longo da reta tangente até que dx (= ∆x ) unidades sejam percorridas no eixo x.

Fig. 1

Fig. 2

A Fig. 2 destaca a diferença entre o incremento ∆y e a diferencial dy .

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
CLÁUDIA BATISTELA / LUIZ C. RENZ / MARIA DE LOURDES MILANEZ

1

Exemplo: A forma diferencial da função y = x 2 é dy = 2x dx
Se tomarmos x = 1 , teremos dy = 2 dx . Isto significa que se percorrermos a reta tangente à curva y = x 2 em x = 1 , então uma variação de dx unidades em x produz uma variação de 2 dx unidades em y. Considerando-se ainda, por exemplo, um avanço de dx = 2 unidades, isto produzirá uma elevação dy = 4 unidades ao longo da reta tangente. Confira estes resultados no gráfico abaixo:

Aproximação linear local do ponto de vista diferencial
Mesmo que ∆y e dy sejam geralmente diferentes, a diferencial dy é uma boa aproximação de
∆y
∆y quando ∆x = dx estiver