Aplicação da função exponencial no cotidiano

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Função Exponencial e Matemática Financeira
A principal característica de uma função exponencial é o aparecimento da variável no expoente. Esse tipo de função expressa situações onde ocorre grandes variações em períodos curtos. As exponenciais, como são conhecidas, possuem diversas aplicações no cotidiano, na Matemática financeira está presente nos cálculos relacionados aos juros compostos,pois ocorre acumulação de capital durante o período da aplicação. Vamos analisar alguns exemplos e verificar a praticidade das funções exponenciais.

Exemplos

Num depósito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo tempo é dado pela fórmula C = D * (1 + i)t, onde C representa o capital acumulado, D o valor do depósito, i a taxa de juros ao mês e t o tempo de meses emque o dinheiro está aplicado. Nesse sistema, ao final de cada mês os juros capitalizados são incorporados ao depósito.

a) Para um depósito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao mês, qual o capital acumulado ao fim de 6 meses? E de 1 ano?

6 meses

C = D * (1 + i)t
C = 1000 * (1 + 0,02)6
C = 1000 * 1,026
C = 1000 * 1,126162419264
C = 1 126,16
O capital acumulado será de R$ 1.126,16.1 ano = 12 meses

C = D * (1 + i)t
C = 1000 * 1,0212
C = 1000 * 1,268241794562545318301696
C = 1 268,24
O capital acumulado será de R$ 1.268,24.

b) Para um depósito de R$ 5 000,00, a uma taxa de 5% ao mês, qual o capital acumulado durante 4 meses?

C = D * (1 + i)t
C = 5000 * (1 + 0,05)4
C = 5000 * 1,054
C = 5000 * 1,21550625
C = 6 077,53
O capital acumulado seráde R$ 6.077,53.

c) Para um depósito de R$ 2 500,00, a uma taxa de juros de 10% ao ano, qual será o capital acumulado durante 10 anos?

C = D * (1 + i)t
C = 2500 * (1 + 0,1)10
C = 2500 * 1,0110
C = 2500 * 2,5937424601
C = 6484,36
O capital acumulado em 10 anos será de R$ 6.484,36.
Exemplos de aplicações da Função Exponencial



Exemplo 1: Bactéria

Uma populaçãode bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de t dias?





Resolução:



milhões de bactérias

Ao fim de 1 dia 1 + 0,5 = 1,5

Ao fim de 2 dias 1,5 + 0,5x1,5 = 1,5(1 + 0,5) = 1,52

Ao fim de 3 dias1,5 + 0,5x1,52 = 1,52 (1 + 0,5) = 1,53

... ...

Ao fim de t dias ................................................................ 1,5t



Vemos que o número de milhões de bactérias, ao fim de t dias, é dado por uma potência de expoente variável (exponencial).

Sabemos queesta potência tem significado para qualquer valor real de t; no início da contagem é t = 0 e antes desse instante é t < 0.

Sabemos, também, que os valores de 1,5t são sempre positivos. Portanto, temos a correspondência:

f: lR lR

t 1,5t

que se chama função exponencial de base 1,5.





Exemplo 2: Juros compostos

A funçãoexponencial intervém em numerosas aplicações matemáticas, na Ciência e na Indústria, e é indispensável no estudo de muitos problemas de Economia e Finanças, nomeadamente no cálculo dos "juros compostos".

Diz-se que há um "juro composto" quando o juro ganho por certo capital, ao fim de um período de tempo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e passando, portanto, a ganhar juro.O investigador, no fim do segundo ano, receberá, portanto, "juro do juro" além do juro do capital.

Por exemplo:

Uma pessoa coloca 3000 contos a prazo, à taxa de 20% ao ano e não levanta dinheiro algum durante 10 anos.

Quanto tem a receber (capital acumulado) ao fim desse período?

E ao fim de x anos?



Resolução:...
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