Analise

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Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011

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CAPÍTULO III Sequência ou sucessão numérica
1. Definição
Uma sequência pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma ordem definida: a1, a2, a3, a4, ..., an, ... O número a1 é chamado primeiro termo, a2 é o segundo termo e, em geral, an é o n-ésimo termo. Podemos lidar exclusivamente com sequências infinitas e,assim, cada an terá um sucessor an + 1. Note que, para cada inteiro positivo n, existe um número correspondente an e, dessa forma, uma sequência pode ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. Mas geralmente escrevemos an em vez da notação de função f(n) para o valor da função no número n. NOTAÇÃO: A sequência {a1, a2, a3, ...} é também denotada por: {an} ou

{an }n = 1



Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Algumas sequências podem ser definidas dando uma fórmula para o n-ésimo termo. Nos
exemplos a seguir, damos três descrições da sequência: uma usando a notação anterior, outra

empregando a fórmula da definição e uma terceira escrevendo os termos da sequência. Note que n não precisa começar em 1.

 n  a)    n + 1 n = 1
 ( − 1) n(n + 1)  b)   3n  n = 1 c)




an =

n n+1

n 1 2 3 4  , ...  , , , , ..., n+1  2 3 4 5

( − 1)n (n + 1) an = 3n

 2 3 4 5 ( − 1)n (n + 1)  , ..., , ... − , , − , 27 81 3n  3 9 

{

n −3

}

∞ n=3

a n = n − 3, n ≥ 3
nπ ,n ≥ 0 6

{0, 1,

2, 3, ..., n − 3, ...

}

nπ   d) cos  6 n = 0 



a n = cos

 3 1 nπ    , , 0, ..., cos ,... 1, 2 2 6    

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4 5 6 7 3  Exemplo 2: Ache uma fórmula para o termo geral an da sequência  , − , , − , , ... 625 3 125   5 25 125 assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.

Resolução:
Nos é dado que: a1 = 3 5 a2 = − 4 25 a3 = 5 125 a4 = − 6 625 a5 = 7 3 125

Observe que os numeradores dessas fraçõescomeçam com 3 e são incrementados por 1 à medida que avançamos para o próximo termo. O segundo termo tem numerador 4; o terceiro, numerador 5; generalizando, o n-ésimo termo terá numerador n + 2. Os denominadores são potências de 5, logo an tem denominador 5n. Os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo, assim precisamos multiplicar por uma potência de –1. No exemplo 1(b) o fator (–1)nsignifica que começamos com um termo negativo. Neste exemplo, queremos começar com um termo positivo e assim usamos (–1)n – 1 ou (–1)n + 1. Portanto, n+2 5n

a n = ( − 1) n −1

Exemplo 3: Vejamos algumas sequências que não tem uma equação de definição simples.
a) A sequência {pn}, onde pn é a população do mundo no dia 1º de janeiro do ano n. b) Se fizermos an ser o dígito da n-ésima cadadecimal do e, então {na} é uma sequência bem definida cujos primeiros termos são {7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, ...} c) A sequência de Fibonacci {fn} é definida recursivamente pelas condições: f1 = 1, f2 = 1,

fn = fn – 1 + fn – 2, com n ≥ 3. Cada termo é a soma dos dois termos precedentes. Os primeiros termos
são: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...} Essa sequência surgiu quando o matemáticoitaliano conhecido como Fibonacci resolveu, no século XIII, um problema envolvendo a reprodução de coelhos.

Quando a sequência não possuir lei de formação, denota-se por sequência “randômica” (aleatório).

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2. Limite de uma sequência
O limite de uma sequência é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. A mesma dá umadefinição rigorosa à ideia de uma sequência que converge até um ponto chamado limite. De forma intuitiva, supondo que se tem uma sequência de pontos (por exemplo, um conjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objeto matemático (por exemplo, os números reais ou um espaço vetorial) que admite o conceito de vizinhança (no sentido de “todos os pontos...
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