Analise combinatoria

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INTRODUÇÃO

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desnvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat(1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar – de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

ANALISE COMBINATÓRIA

Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem é um princípio combinatório que indica de quantas formas sepode escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos, estabelecendo de quantas maneiras dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer.
Assim, se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes, representadas por a1, a2, …, am, e, se para cada uma dessas m maneiras um segundo evento B, pode ocorrer de n maneiras diferentes, representadas por b1, b2, …, bn, então o número demaneiras que esses eventos podem ocorrer, um seguido do outro, é igual a mn.
O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer.

Exemplo:

Para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de “CPU”. Para saber o numero de diferentespossibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

Fatorial

Fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. Fatorial é um artifício utilizado pela análise combinatória paraefetuar o produto dos números naturais consecutivos maior que 1, ou seja, dado um número natural qualquer (n maior que 1) o seu fatorial (n!) será calculado pelo produto dos números naturais consecutivos: n! = 1.2.3.....(n-2).(n-1).n

Exemplo:

2!=2.1=2
3!=3.2.1=6
4!=4.3.2.1=24
5!=5.4.3.2.1=120
6!=6.5.4.3.2.1=720
7!=7.6.5.4.3.2.1=5040

Seguindo essa seqüência podemos concluir queo fatorial de um número natural
é:

n!=(n-1)!.n

O fatorial de zero será igual a 1, pois 1! = (1 – 1)! . 1 = 0! . 1. Como todo número multiplicado por 1 é ele mesmo, podemos dizer que 1 = 0!, assim, provamos que o fatorial de zero é 1.

Permutação Simples

Permutação simples é o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos os elementos em cada grupo. Apermutação simples é um caso particular de arranjo simples. Dado um conjunto com n elementos, chama-se permutação de n elementos distintos a todo grupo formado pelos n elementos, sendo um grupo distinto de outro quando em cada um dos dois houver, pelo menos:
Dois dos n elementos em ordem diferentes ( note que a ordem numa permutação é importante ), considerando o conjunto E= { a1,a2,a3,...,an}de n elementos distintos. Chamamos de permutação dos n elementos de E qualquer sequência formada pelos n elementos de E.

Exemplo:

As permutações simples dos três elementos do conjunto A = { 1, 2, 3 } são:

(1,2,3)......(2,1,3)......(3,1,2)
(1,3,2)......(2,3,1).......(3,2,1)

Observe que: ( 1, 2, 3) é diferente de ( 2, 1, 3). Diferem pela ordem dos elementos. Podendo serformados seis números de três algarismos distintos.
Os grupos assim obtidos são denominados permutações simples de 3 elementos tomados 3 a 3, e são indicados P3.

Formula Permutações simples

Em geral, temos:
An,p = n(n - 1 ) (n – 2) ... (n – p + 1)
Se n = p, vem:
An,n = Pn = n(n – 1) (n - 2) ... (n – n + 1) = n(n – 1) (n – 2) ... 1. Portanto:

Pn = n(n – 1) (n - 2) ... 1 =...
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