Algebra

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Espaço vetorial
Conceito de espaço vetorial
Seja K um corpo e V um conjunto não vazio, onde definimos duas operações, sendo uma
a adição de vetores e a outra a multiplicação de um elemento do corpoK por um
elemento de V. Sejam v e w dois elementos de V e k um elemento do corpo K. Denotaremos
a adição de v e w por v + w e a multiplicação de k e v por kv. O conjunto V, com essas
operações édenominado de espaço vetorial sobre o corpo K se, para todo u, v, w de
V e todo α, β de K, se verificarem as propriedades
1. Comutativa: v + w = w + v.
2. Associativa: (u + v) + w = u + (v + w).
3.Elemento neutro: Existe um elemento de V denotado por 0 tal que 0+v = v+0 = v.
4. Elemento oposto: Dado v em V existe um elemento denotado por −v e tal que
v + (−v) = (−v) + v = 0.
5.Associatividade: (αβ)v = α(βv).
6. Distributividade: (α + β)v = αv + βv.
7. Distributividade: α(v + w) = αv + αw.
8. Elemento unitário: A multiplicação do elemento unitário 1 de K pelo elemento v
de V é iguala v, isto é, 1v = v.
Os elementos de V são chamados vetores e os elementos de K de escalares. O
elemento v + w é o vetor soma de v com w e o elemento αv é o produto de α por v ou
ainda que αv é ummúltiplo de v. O vetor −v é denominado oposto de v e 0 é o vetor
nulo ou vetor zero. Definimos a diferença v − w (leia-se v menos w) entre os vetores
v e w por v + (−w).
Em nosso curso, o corpo Kserá o corpo R dos números reais ou o corpo C dos números
complexos. Quando V for um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais, diremos
que V é um espaço vetorial real. Quando V for um espaçovetorial sobre o corpo dos
números complexos, diremos que V é um espaço vetorial complexo.
Quando se diz que V é um espaço vetorial sobre o corpo K entenda-se que está
implícito a existência dasoperações de adição de vetores e multiplicação de um escalar
por um vetor. Quando o contexto permitir, omite-se a referência ao corpo K e se diz
apenas que V é um espaço vetorial. O espaço vetorial...
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