Algebra

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – UFPE
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – CCSA
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
















ELEMENTOS DE ECONOMIA MATEMÁTICA I


[pic]CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA LINEAR







Resolver sistemas lineares não é o único propósito da álgebra linear.

Pelo professor AlexandreStanford
















RECIFE, 11 DE OUTUBRO DE 2002.

ESPAÇOS VETORIAIS


As soluções dos sistemas são vetores com n componentes que podem ser representados no n-espaço euclidiano, representado por (n.
Como a soma de dois vetores no (n é ainda um vetor no (n, como um vetor no (n multiplicado por um escalar ainda é um vetor no (n. Dizemos que (n é FECHADO sobre adição de vetore multiplicação por escalar.
Exemplo: A solução de [pic] é:




Forma um conjunto fechado sobre as operações.





ESPAÇO VETORIAL (DEFINIÇÃO)

Uma coleção de n vetores é chamada de espaço vetorial se V é fechado sobre a operação de adição e sobre a multiplicação por escalar.
Obs.: Todo espaço vetorial contém o vetor nulo e o vetor inverso de todo vetor.
Osespaços euclidianos são exemplos de espaços vetoriais.
Todo plano no (3 contendo a origem é um espaço vetorial. Como eles são um subconjunto do (3 é conveniente chamá-los de subespaços do (3.


SUBESPAÇO VETORIAL (DEFINIÇÃO)

Um espaço vetorial V é chamado subespaço de W se todo vetor em V também pertence a W.
Obs.: O menor subespaço de um espaço é uma coleção de um único vetor, aorigem. Esse subespaço é chamado de subespaço trivial de W. Os outros são chamados não-triviais.
Exemplo: subespaços do (3:
• O próprio (3.
• Planos contendo a origem.
• Retas contendo a origem.
• A origem.


INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇOS

A interseção de dois subespaços é um subespaço.
PROVA:
S = S1 ( S2
S tem pelo menos um vetor em comum, a origem. Essa é umsubespaço.
Se v ( S então v ( S1 e v ( S2
Se u ( S então u ( S1 e u ( S2
(I) (v + u) ( S, pois:
v ( S1 e u ( S1. Logo (v + u) ( S1
v ( S2 e u ( S2. Logo (v + u) ( S2
Assim, (v + u) ( S1 e (v + u) ( S2. Logo, (v + u) ( S.
(II) a ( (, v ( S ( av ( S, pois:
v ( S1. Logo, av ( S1
v ( S2. Logo, av ( S2
Assim, av ( S1 e av ( S2. Logo, av ( S.


COMBINAÇÃO LINEAR

Um vetorb é chamado de uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... , vn se b pode ser expresso na forma:
b = (1v1 + (2v2 + ... + (nvn, onde os (i’s são escalares.

Exemplo 1:

Determine se o vetor b = (-3,12,12) é uma combinação linear dos vetores v1 = (-1,3,1), v2 = (0,2,4) e v3 = (1,0,2).




ou seja:




A pergunta é se o sistema tem solução. Ou seja:



(1 = 2,(2 = 3 e (3 = -1. Como |A| = 6, então o sistema tem uma única solução e a resposta é sim, é uma combinação linear.



Exemplo 2:


Como |A| = 0 e A é quadrada, o sistema não tem solução ou é indeterminado.


Incompatível.

Isto é, o vetor (1,5) não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (3,2) e (-6,-4).



GERADOR

Gerador do espaço é um conjunto de vetores peloqual pode-se gerar todos os elementos do espaço.
Suponha que v1, v2, ..., vn são vetores em um espaço vetorial V. Diz-se que esses vetores geram V se V consiste de todas as combinações lineares de v1, v2, ..., vn, isto é, se todo vetor v em V pode ser expresso na forma:
v = (1v1 + (2v2 + ... + (nvn, onde os (i’s são escalares.

Exemplo 1: Os vetores c1 = (1,0) e c2 = (0,1) geram o (2desde que todo vetor b em (2 é uma combinação linear de c1 e c2: b = (b1,b2) = b1 (1,0) + b2 (0,1) = b1c1 + b2c2.

Exemplo 2: Quais os vetores geradores do espaço solução do sistema x1 + 2x2 – x3 = 0 ?
Solução: x1 = -2x2 + x3, para x2 e x3 quaisquer. O vetor solução seria:
(x1, x2, x3) = x2 (-2,1,0) + x3 (1,0,1) ou seja:
(-2x2+x3, x2, x3) = (-2x2, x2, 0) + (x3, 0, x3) = x2 (-2,1,0) + x3...
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