Algebra

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2.Multipliqueamatriz Apelamatriz Bemcadacaso. (a) A=1 3 14 5 67 8 9e B=5−1 0 00 0 1 23 1 4 5Solução: 1 3 14 5 67 8 9·5−1 0 00 0 1 23 1 4 5=8 0 7 1138 2 29 4062 2 44 61(b) A=54321e B=6 5 4 3 2 1Solução: 54321·6 5 4 3 2 1=nãoépossível
3.Oprodutodematrizesnãoécomutativo.Encontreduasmatrizes Ae B,deordem 2,demodo que A
×
B

=B×A. Solução: Nemsemprevaleacomutatividadedematrizes:Emgeral, A×Bédiferentede B×A, comoéocasodoprodutoquesegue: A=1 2 32 4 63 6 9e B=1 23 57 9A
·B=1 22 4·3 52 1=7 714 14B
·A=3 52 1·1 22 4=13 264 8Portanto, A
·
B

=
B·A. 4.Ponhanaformaescadaeexpliciteaoperaçãopassoapasso: (a) A=1 0 03 1 20 0 4Solução: 1 0 03 1 20 0 4∼1 0 00 1 20 01L2→L2−3L1L3→14L3∼1 0 00 1 00 0 1L2→L2−2L3(b) B=1−1 2 5−2 3 2 10 1 4 2Solução: 1−1 2 5−2 3 2 10 1 4 2L2→L2+ 2L1∼1 0 8 160 1 6 110 0 − 2−9L1→L1+L2L3→L3−L21 0 8 160 1 6 110 0 1 9/2L3→ −12L3∼1 0 0−200 1 0−160 0 1 9/2L1→L1−8L3L2→L2−6L3
5.Encontretodasassoluçõesdosistema. x1+ 3x2+ 2x3+ 3x4−7x5= 142x1+ 6x2+x3−2x4+5x5=−2x1+ 3x2−x3+ 2x5=−1Solução: 1 3 2 3−7 142 6 1 − 2 5−21 3 − 1 02−1∼1 3 2 3−7 140 0 − 3 − 8 19−300 0 − 3 − 3 9−15∼1 3 2 3−7 140 0 − 3 − 8 19−300 0 0 5−10 15∼1 3 2 3−7 140 0 1 8 / 3 − 19/3 100 0 0 1−2 3∼1 3 0 3−5 100 0 1 0−1 20 0 0 1−2 3∼1 3 0 0 1 10 0 1 0−1 20 0 0 1−2 3x1+ 3x2+x5= 1x3−x5= 2x4−2x5= 3⇒x4= 3 + 2x5Fazendo x5=αe x2=β ,temos: x4= 2 +α x3= 2 +α x1= 1−3β −αAsoluçãodessesistematemaforma (1−3β −α,β, 2 + α, 3 + 2α,α)6.Encontreopostodamatriz A=1−2 3−12−1 2 33 1 2 3Solução: Postonúmerodelinhasnãonulasdamatrizlinhaequivalentereduzidaàformaescada. 1 − 2 3−10 3−4 50 7−7 6∼1 − 2 3−10 1−4 / 3 5/30 7−7 6∼1 0 1 / 3 7/30 1 − 4 / 3 5/30 0 7/3−17/3∼1 0 0 38/90 1 0 − 11/70 0 1−17/7Posto=3 7.Acheainversadamatriz A=1 2 1 00 1 2 11 3 0 14 1 3−1Solução: 1 2 1 0 1 0 0 00 1 2 1 0 1 0 01 3 0 1 0 0 1 04 13−1 0 0 0 1∼1 2 1 0 1 0 0 00 1 2 1 0 1 0 00 1 − 1 1−1 0 1 00−7−1−1−4 0 0 1∼1 0 − 3 − 2 1−2 0 00 1 2 1 0 1 0 00 0 − 3 0 − 1−1 1 00 0 13 6−4 7 0 1∼1 0 0 − 2 2 − 1−1 00 1 2 1 0 1 0 00 0 − 3 0 − 1−1 1 00 0 13 6−4 7 0 1∼1 0 0 − 2 2 − 1−1 00 1 0 1 − 2 / 3 1 / 3 2/3 00 0 1 0 1 / 3 1/3−1/3 00 0 0 6 − 25 / 3 8 / 3 13/3 1∼1 0 0 0 − 14 / 18 − 1 / 9 4 / 9 1/30 1 0 0 13 / 18− 7 / 3 − 1 / 18 − 1/60 0 1 0 1 / 3 1/3−1/3 00 0 0 1 − 25 / 18 8 / 18 13 / 18 1/61 0 0 0−7/9−1 / 9 4 / 9 1/30 1 0 0 13 / 18 − 7 / 3 − 1 / 18 − 1/60 0 1 0 1 / 3 1/3−1/3 00 0 0 1 − 25 / 18 4 / 9 13 / 18 1/6
8.PorLaplaceacheodeterminantedasmatrizesabaixo: (a) 1 21 3(b) 1 2 01 3 01−1 2Solução: Lembrando: ∆ij= (−1)i+j|Aij|det ( A) =ai1∆i1+ ···+ain∆in(a) det1 213= 1(−1)1+1· 3 + 2(−1)1+2· 1 = 1(1) · 3 + 2( − 1)·1 = 1(b) det1 2 01 3 01−1 2= (0)∆13+ (0)∆23+ (2)∆33∆33= (−1)3+31 21 3= 1·1 = 1det ( B ) = 2·1 = 2
9.Calculeodeterminanteeacheainversadasmatrizes: (a) 1 00 1(b) 1 2 32 3 03 0−1Solução: (a) det (A) =1 00 1= 1A−1=1 00 1(b) det (B) =1 2 32 3 03 0−1= 3∆13+ (0)∆23+ (−1)∆33∆13= (−1)1+32 330= (1)( − 9) =−9∆33= (−1)3+31 22 3= (1)(−1) =−11 2 3 1 0 02 3 0 0 1 03 0−1 0 0 1∼1 2 3 1 0 00−1−6−2 1 00 − 6 − 10−3 0 1∼1 2 3 1 0 00 1 6 2−1 00 − 6 − 10−3 0 1∼1 0−9−3 2 00 1 6 2−1 00 0 26 9−6 1∼1 0 0 3/26−1 / 13 9/260 1 0 − 1 / 3 5 / 13 − 3/130 0 1 9 / 26 − 6 / 26 1/26B−1=3 / 26 − 1 / 13 9/26−1 / 3 5/13−3/139 / 26 − 6 / 26 1/2610.MostrequeR2éespaçovetorialcomasoperaçõesusuaisdesomaeprodutoporescalarem R2. Solução: Oconjunto V =R2= { ( x,y );x,y∈R}éumespaçovetorialcomasoperaçõesdeadição emultiplicaçãoporumnúmerorealassimdenido: (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2)a·( x,y ) = (ax,ay)Paravericarosoitosaxiomasdeespaçovetorial,sejam u= (x1,y1), v= (x2,y2)e w= (x3,y3)(A1) ( u + v ) + w = u + ( v +w); (A2) u + v = v+u; (A3) ∃ 0 = (0...
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