Algebra linear

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Sumário
Cônicas 3
Parábola 4
1.2 Equação da parábola de vértice na origem do sistema. 5
1.3 Transiação de eixos. 7
1.4 Equação da parábola fora da origem do sistema. 9
Hipérbole 11
DEFINIÇÃO DA HIPÉRBOLE 14
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA HIPÉRBOLE 16
Referência bibliográficas 20

Cônicas

Uma curva pode ser definida como sendo o conjunto de pontos que gozam de uma mesma propriedade,ou seja, como um lugar geométrico, ou como gerada por um ponto móvel que se desloca no plano ou no espaço, ou ainda como a interseção de duas superfícies. As cônicas de Apolônio (interseções de superfícies) foram caracterizadas por suas propriedade focais (lugares geométricos) com estabelecido na seção anterior. O mérito desse método é creditado ao pai da filosofia moderna René Descartes (1.596-1.650). Sua obra ``Discours de la Méthode'', publicada em 1.637 em Leyden, na Holanda, continha um apêndice denominado La Géometrie, que apresentava as idéias fundamentais sobre a resolução dos problemas geométricos usando coordenadas (sistema cartesiano) e equações algébricas. Entretanto Descartes não tratou de quase nada do que se entende hoje por geometria analítica, não tendo deduzido sequer aequação de uma reta. Esse mérito do marco zero da geometria analítica deve ser creditado a Pierre de Fermat que conclui em 1.629 o manuscrito ``Ad locos planos e et sólidos isagoge'' (Introdução aos lugares planos e sólidos).

Definição :  Denomina-se cônica o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma reta fixa d é igual a uma constante nãonegativa e. O ponto fixo é chamado de foco, a reta fixa de diretriz e a razão constante de excentricidade da cônica. Quando e = 1 a cônica é chamada de parábola, quando 0 < e < 1 de elipse e quando e > 1 de hipérbole.

Parábola

Definição: A parábola (do grego παραβολή) é uma seção cônica gerada pela intersecção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linhageradora de cone (chamada geratriz).Ou e um lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes de F e D. A reta que é perpendicular à diretriz e contém o vértice e o foco é o eixo de simetria da parábola.

Figura 1.a


Figura 1.b
Na figura 1.b estão assinalados 7 pontos que são eqüidistantes do ponto Fe da reta d.
Sendo assim p’ e perpendicular ao um pontoP do plano sobre a reta d. De acordo com a definição ,P pertence a parábola.
dP,F=d(P,P')
Ou
PF=PP'
Logo F não pertence a d.



Elementos:
Considerando a figura 1.b.

- F = Foco do ponto.
- D = Diretriz a da reta.
- Eixo = È a reta que passa pelo foco que,e,perpendicular á diretriz.
- Vértice = O ponto V da interseção da parábola com seu eixo.

No qual se temdV,f=dV,A.
1.2 Equação da parábola de vértice na origem do sistema.
1 caso: o eixo da parábola é o eixo dos Y.
Seja P(x,y) uma ponto qualquer da parabola de foco (0,P/2).

Figura 1.2.a.
Como P’(x ,P/2) :
|(x-0,y-p/2)|=|(x-x),y+p/2|
Ou
x-02+y-p/2²=x-x2+(y+p/2)²
Elevando ao quadrado temos:
x-02+y-p/2=x-x2+(y+p/2)²
Ou:
X²+y²-py-p²/2=y²+py+p²/2
Ou seja x² =2py.
No qual se chama equação reduzida daparábola tendo de vértice na origem tendo eixo dos y.
Desta equação conclui-se que 2py sempre + ou – ,se p>0 a concavidade voltada para cima e, se p<0 a concavidade e voltada para baixo. Como mostra a figura 1.2.b.

Figura 1.2.b.
P diferente de 0 e uma parâmetro da parábola.

2.Caso O eixo da parábola é o eixo dos x.
P(x,y) um ponto qualquer.
Foco = (f ,o) onde f=p/2.

Y²=4.p/2.x → y²=2px.Desta equação conclui-se que 2px sempre + ou – ,se p>0 a concavidade voltada para cima e, se p<0 a concavidade e voltada para baixo. Como mostra a figura 1.2.c
.
Figura 1.2.c.

Exemplos:
Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 \ p = 4.

Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2
y2 = 8(x-2)
y2 -...
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