Algebra linear

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 12 (2800 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 21 de março de 2011
Ler documento completo
Amostra do texto
Univ. de Tr´s-os-Montes e Alto Douro a Escola de Ciˆncias e Tecnologia e Dep. de Matem´tica a Tecnologias de Informa¸˜o e Comunica¸˜o ca ca ´ Algebra Linear 2010 – 2011 Primeiro semestre
Caderno de problemas para as aulas te´rico-pr´ticas o a

Elza Amaral Am´rico Bento e

Setembro, 2010

1

UTAD

TIC

1.o semestre, 2010–2011

´ Algebra Linear

3

1

Revis˜o sobre os m´todosde substitui¸˜o e adi¸˜o ordenada a e ca ca na resolu¸˜o de sistemas de equa¸oes lineares ca c˜
1. Considere o seguinte sistema de equa¸˜es lineares co x + 2y = 2 . 2x + y = −2 (a) Verifique quais dos pares (2, 0) , (1, 3) , (−2, 2) , (4, −1) s˜o solu¸˜o da primeira equa¸ao. a ca c˜ (b) Verifique quais dos pares (−2, 2) , (1, −4) , (0, −2) , (0, 5) s˜o solu¸˜o da segunda equa¸ao. a ca c˜ (c)Indique, justificando, uma solu¸ao do sistema dado. c˜ 2. Resolva os seguintes sistemas pelo m´todo de substitui¸˜o. e ca (a) y = 2x − 3 ; x + 2y = 14 (b) y =x−4 . x + 3y = 12

3. Considere o sistema de equa¸oes lineares nas inc´gnitas x e y c˜ o 2x − 3y = −1 . ax − 3y = b Indique para que valores de a e b o sistema ´: poss´ e determinado; poss´ e indeterminado; e e ıvel ıvel imposs´ (fa¸a ainterpreta¸ao geom´trica do sistema nos diferentes casos). ıvel c c˜ e 4. Usando o m´todo misto (isto ´: adi¸ao ordenada at´ encontrar um sistema triangular e depois e e c˜ e substitui¸˜o), resolva cada um dos sistemas a seguir explicitados: ca (a) 2x + 3y − z = 0 −x + 5y + 2z = 0 (b) 2x − 4y − 2z = 6 3x + y + 6z = 6 (c) x + 2y − z = 3 2x + 3y + z = 1   x − y + 2z = 3 x + 2y − z = −3  2y − 2z = 1   w −x − y + 2z = 1 2w − 2x − y + 3z = 3 (i)  −w + x − y = −3   x1 + 4x4 = 1   x1 + 2x2 + 4x3 = 3 (m)  2x1 + 2x2 + x4 = 1   x1 + 3x3 = 2

  x+y+z =3 2x + 3y + z = 5 (d)  x − y − 2z = −5   2x + 4y + 6z = 8 3x + 9y + 6z = 12 (g)  −x + y − z = 1

  2x + y − z = 3 x + 5z = 1 (e)  −x + 3y − 2z = 0

(f )

  −x1 + 3x2 − 2x3 + 4x4 = 0 2x1 − 6x2 + x3 − 2x4 = −3 (h)  x1 − 3x2 + 4x3 −8x4 = 2   w + x + 2y + z = 1   w−x−y+z =0 (l)  x + y = −1   w+x+z =2

  a+b+c+d=4   a + 2b + 3c + 4d = 10 (j)  a + 3b + 6c + 10d = 20   a + 4b + 10c + 20d = 35

UTAD

TIC

1.o semestre, 2010–2011

´ Algebra Linear

4

2

Espa¸os vectoriais c

5. Mostre que o corpo dos n´meros complexos C ´ um espa¸o vectorial real, relativamente `s opera¸oes u e c a c˜ usuais:adi¸ao de dois n´meros complexos; multiplica¸ao de um n´mero real por um complexo. c˜ u c˜ u 6. Considere o conjunto dos n´meros reais positivos R+ e as opera¸˜es u co ⊕ : R+ × R+ −→ R+ , ⊗ : R × R −→ R , Mostre que (R+ , ⊕, ⊗) ´ um espa¸o vectorial real. e c 7. Mostre que (R2 , ⊕, ⊗) n˜o ´ espa¸o vectorial real se: a e c (a) (x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) := (x1 , x2 ); (b) (x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) := (x1 +y1 , 0); k ⊗ (x1 , x2 ) := (kx1 , kx2 ); k ⊗ (x1 , x2 ) := (kx1 , kx2 ); k ⊗ (x1 , x2 ) := (kx1 , 0); k ⊗ (x1 , x2 ) := (|kx1 |, |kx2 |).
+ +

a ⊕ b := ab; λ ⊗ b := aλ .

(c) (x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 ); (d) (x1 , x2 ) ⊕ (y1 , y2 ) := (|x1 + y1 |, |x2 + y2 |);

8. O conjunto das matrizes quadradas, de ordem n, com entradas no corpo K denota-se por Mn×n (K). Mostre que(Mn×n (R), +, ·)R ´ um espa¸o vectorial. e c Subespa¸os vectoriais c Seja (E, +, ·)K um espa¸o vectorial sobre o corpo K. Sendo F um subconjunto de E, o s´ c ımbolo “(F, +, ·)K ” denota o subespa¸o de (E, +, ·)K cujo conjunto-suporte ´ F . c e Quando n˜o houver ambiguidade, simplificaremos a nota¸ao: assim, usaremos F para denotar o a c˜ conjunto-suporte e para identificar o pr´prio subespa¸o (F, +, ·)K. o c Esta identifica¸ao manifesta a sua relevˆncia nos problemas envolvendo intersec¸˜o, soma e reuni˜o c˜ a ca a de subespa¸os. c 9. Seja A = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}. Mostre que (A, +, ·)R ´ um subespa¸o vectorial do espa¸o vectorial can´nico (R3 , +, ·)R . e c c o 10. Averig´e quais dos seguintes conjuntos s˜o o conjunto-suporte de um subespa¸o vectorial do espa¸o u a c c...
tracking img