Algebra linear

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Sumário

INTRODUÇÃO...........................................................................................02
1. TRANSFORMAÇÃO LINEAR.................................................................03
2. NUCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR.............03
3. OPERADOR DIFERENCIAL LINEAR....................................................04
4.EXEMPLOS............................................................................................05
5. ROTAÇÕES NO ESPAÇO.....................................................................07
6. PROPRIEDAS EM UM ESPAÇO VETORIAL........................................07
7. ESPAÇOS VETORIAIS..........................................................................07
8. SUBESPAÇOVETORIAL.......................................................................08
9. COMBINAÇÕES LINEARES..................................................................09
10. CONJUNTO GERADO.........................................................................09
11. PROPRIEDADES ASSOCIADAS A CONJUNTOS GERADOS..........10
12. EXERCÍCIOS......................................................................................10
13.CONCLUSÃO.......................................................................................13
14. BIBLIOGRÁFIA....................................................................................14

-Introdução.
Álgebra linear é uma parte da Álgebra que, por sua vez, é um ramo da Matemática na qual são estudados matrizes, espaços vetoriais e transformações lineares.   Todos esses itens servem paraum estudo detalhado de sistemas lineares de equações.   É um fato histórico que a invenção da Álgebra Linear ser um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações dentro e fora da matemática.
Tanto a álgebra Linear como a Geometria Analítica aplica-se a várias áreas, em especial ás engenharias.
Será abordado um tipo especial de funções, chamadas transformações lineares.  Essas funções ocorrem com frequência em Álgebra Linear e em outros campos da matemática, além de serem importantes numa vasta gama de aplicações.   

1. TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V → W é chamada transformação linear de V em W
se satisfaz às seguintes condições:
I) T(u + v) = T(u) + T(v)
II) T(αu) = αT(u)
∀u, . v ∈V e ∀α ∈ R
• Em particular,uma transformação linear de V em V (ou seja, se W = V) é chamada operador linear sobre V.
Definição 2: Seja T: V W uma transformação linear. A imagem de T é o conjunto dos vetores w W, tais que v V, que satisfaz T(v) = w, ou seja, Im (T) = { w W, T(v) = w para algum v V}
Definição 3: Seja T: V W uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores v para os quais T(v) = 0 é chamadode núcleo de T, sendo denominado N(T) ou Ker (T). Isto é, N(T) = { v V, tal que T(v) = 0}
Obs: Im(T) ou Ker (T) são subespaços de W.
2. Núcleo e imagem de uma transformação linear
Consideremos a transformação linear 
O núcleo da transformação linear é o conjunto de todos os vetores do domínio  que têm como imagem o elemento neutro  . Em linguagem matemática escrevemos
.
Tendo em vistaque  vemos que o núcleo não é um conjunto vazio. Ainda    é um subespaço vetorial. Assim, quase sempre precisamos exibir uma base para o .
No caso em que o  a transformação linear é Injetora. 
A imagem da transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio  que são imagens de pelo menos um vetor . Em linguagem matemática escrevemos
.

Observe que  e o conjunto imagem também nãoé vazio. Ainda   é um subespaço vetorial. Assim, como no caso do núcleo, quase sempre precisamos exibir uma base para o espaço .
Quando ocorrer que o  a transformação linear é Sobrejetora.
O Teorema da dimensão nos diz que 

Como consequência do Teorema da dimensão e no caso particular em que
,
a transformação linear  é injetora se, e somente se,  é sobrejetora. Nesta situação dizemos...
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