algebra linear

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ETAPA 4. 
Esta atividade é importante, pois focaliza a interpretação da situação – problema e sua modelagem matemática. 
Passo 1. 
As Leis de Kirchhoff são empregadas em circuitos elétricos mais complexos, como por exemplo, circuitos com mais de uma fonte de resistores estando em série ou em paralelo. Para estuda - las vamos definir o que são Nós e Malhas: 
Nó: é um ponto onde três (ou mais)condutores são ligados. 
Malha: é qualquer caminho condutor fechado. 

Fig. 1: Circuito com várias malhas e nós 

Analisando a figura 1, vemos que os pontos C, D, A e F são nós, mas B, E, H e G não são. Identificamos neste circuito 3 malhas definidas pelos pontos: ABCDA, CEFDC e FGHADF. 
Primeira lei de Kirchhoff ( lei dos nós ) 
Em qualquer nó, a soma das corrente que o deixam (aquelascujas apontam para fora do nó) é igual à soma das correntes que chegam até ele. A Lei é uma conseqüência da conservação da carga total existente no circuito. Isto é uma confirmação de que não há acumulação de cargas nos nós. 


Segunda lei de Kirchhoff ( lei das malhas ) 
A soma algébrica das forças eletromotrizes (f.e.m) em qualquer malha é igual à soma algébrica das quedas de potencial ou dosprodutos iR contidos na malha. 



Agora que vimos um pouco das leis de malhas e das leis dos nos, podemos modelar a situação problema da figura 1. 
Escrevendo em forma de um sistema de equação lineares fazendo uso da lei de Kirchhoff. 

(2+2+4)*i¹-4i²-2i³=10 
-4i¹+(4+3+1)*i²-2i³=0 
-2i¹-2i²+(2+2+3+3)*i³=4 

Entenderemos um pouco mais no passo dois, aonde veremos exemplos de outroscircuitos e vamos aprender resolver. 

Passo 2. 
Aplicando as leis de Kirchhoff 
Exemplo: 1 
A figura 2 mostra um circuito cujos elementos têm os seguintes valores: 
E1=2,1 V, E2=6,3 V, R1=1,7 Ώ, R2=3,5 Ώ. Ache as correntes nos três ramos do circuito. 

Fig. 2: Circuito com várias malhas e nós 
Solução: Os sentidos das correntes são escolhidos arbitrariamente. Aplicando a 1ª lei de Kirchhoff(Lei dos Nós) temos: 
i1 + i2 = i3 

Aplicando a 2ª Lei de Kirchhoff (Lei das Malhas): partindo do ponto a percorrendo a malha abcd no sentido anti-horário. Encontramos: 
-i¹R¹-E¹-i¹R¹+i²R²=0 
ou 
2i¹R¹-i²R²=E²-E¹ 

Se percorrermos a malha adef no sentido horário temos: 
+i³R¹-E²+i³R¹+E²+i²R² 
ou 
2i³R¹+i²R² 
Ficamos então com um sistema de 3 equações e 3 incógnitas, que podemosresolver facilmente: 
I¹+I²=I³ 
2i¹R¹-i²R²=E²-E¹ 
2i³R¹+i²R²=0 

I¹+I²=I³ 
2i¹(1,7)-i²(3,5)=6,3-2,1 
2i³(1,7)+i²(3,5)=0 
Resolvendo o sistema temos que: 
I¹ = 0,82A 
I² = -0,4A 
I³ = 0,42A 
Os sinais das correntes mostra que escolhemos corretamente os sentidos de i1 e i3, contudo o sentido de i2 está invertido, ela deveria apontar para cima no ramo central da figura 2. 
Exemplo 2: 
Qual adiferença de potencial entre os pontos a e d da figura 2? 
Solução: Pela Lei da Malhas temos: 
Vª-i²R²-E²=Vb 
Va-Vb=i²R²+E² 
V V =(0,4)-(3,5)+6,3 
Observe que se não alterarmos o sentido da corrente i2, teremos que utilizar o sinal negativo quando for feito algum cálculo com essa corrente. 

Agora vamos determinar a matriz dos coeficientes das variáveis e a matriz ampliada desse sistemalinear da figura um. 
Usando o que vimos ate agora vamos resolver este circuito elétrico, lembrando que o objetivo é saber, que o sistema linear é usado para resolver circuitos elétricos. 


(2+2+4)*i¹-4i²-2i³=10 
-4i¹+(4+3+1)*i²-2i³=0 
-2i¹-2i²+(2+2+3+3)*i³=4 

8i¹-4i²-2i³=10 
-4i¹+8i²-2i³=0 
-2i¹-2i²+10i³=4 

Agora que já foi modelado o circuito, vamos usar o método de Gauss – Jordan. Em que consiste o método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento? 
Consiste em eliminar as incógnitas de um sistema linear até chegar a uma equação com uma incógnita. 
Resolvendo: 
Seja o sistema de equações lineares: 
-4x+8y-2z=0 Equação 1 
8x-4y-2z=10 Equação 2 
-2x-2y+10z=4 Equação 3 

1 - Vamos eliminar a incógnita x entre as equações 1 e 2 multiplicando ambos os membros...
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