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2 – Triedro de Frenet1

2.1 – Introdução

Nesta seção é desenvolvido um sistema de referência, com origem no ponto que
define a posição de uma partícula ao longo de sua trajetória. Este referencial será
importante para desenvolver uma abordagem vetorial da velocidade e da aceleração de
uma partícula nas próximas seções.

2.2 – Versor da tangente
Inicialmente será adotado um referencialfixo, definido por um sistema de eixos
cartesianos OXYZ. A trajetória da partícula pode ser uma representada por uma curva e
a posição da partícula ao longo desta trajetória pode ser definida pelo ponto
P = ( x, y, z ) ∈ a curva, cujas coordenadas podem ser expressas em função de um
parâmetro escalar t, ou seja,

x = x(t ), y = y (t ) e z = z (t ) . Portanto, P = P (t ) , onde t

não énecessariamente a variável tempo.

Fig. 2.1 – Trajetória do ponto material P

O vetor OP , com origem em O e extremidade no próprio ponto P, localiza um
ponto P da curva. Este vetor é chamado de vetor posição.

1

Este texto teve a colaboração do aluno Salvatore Fortunato Ferraro.

Conforme visto em Geometria Analítica, o vetor OP pode ser obtido através da
diferença entre o ponto deextremidade e o de origem:

OP = P − O
Como P ∈ à curva, OP = ( x , y , z ) − ( 0,0,0 ) = ( x , y , z )
Como x = x(t ), y = y (t ) e z = z (t ) , o vetor OP depende somente do parâmetro
t, ou seja, OP = OP(t ) .

Fig. 2.2 – Vetor posição

OP

Para t = t 0 , o vetor assume a posição OP (t 0 ) = OP 0 , se o parâmetro variar para
t1 = t 0 + ∆t , o vetor assumirá uma outra posição OP (t1 ) =OP (t 0 + ∆t ) = OP 1 .
Com os vetores OP 0 e OP 1 , o vetor ∆ P é definido por ∆ P = OP 1 − OP 0 .

Fig. 2.3 – Vetor

∆P

Onde ∆ P é o vetor diretor da reta s, secante à curva, e definida pelos pontos P0
e P1 .
Dividindo o vetor ∆ P pelo escalar ∆t , seu módulo é alterado mas sua direção e
seu sentido são mantidos.

Fig. 2.4 – Reta secante à curva (reta s) no ponto P0

Reduzindo oparâmetro ∆t , o ponto P1 assumirá posições cada vez mais
próximas do ponto P0. Seria como se a reta s girasse em torno do ponto P0. Se ∆t
tender a zero, os pontos P0 e P1 definem o vetor P0 P 1 , que tem a direção da reta r,
tangente à curva no ponto P0.

Fig. 2.5 – Reta tangente à curva (reta r) no ponto P0

Nessa situação, ∆t e ∆ P são infinitamente pequenos, assumindo suas formasdiferenciais dt e dP . Assim, o vetor

∆P
dP
tomará a forma
, que é a derivada do vetor
∆t
dt

posição OP(t ) em relação ao parâmetro t.

Fig. 2.6 – Vetor diretor da reta tangente à curva (reta r) no ponto P0

Observe que o vetor

dP
é o vetor diretor da reta r, tangente à curva no ponto P0.
dt

Para obter o versor tangente (vetor com módulo unitário), basta efetuar a divisão
dopróprio vetor pelo seu módulo.

dP
τ = dt
dP
dt
Para facilitar a notação, será empregado



dP
= OP . Portanto, τ = OP , que é
dt

OP

o VERSOR DA TANGENTE à curva num determinado ponto P.

2.3 – Tópicos de Geometria Analítica

a)

V

V
2

=

(x

2

2

= V •V De fato:
+ y2 + z2

) =x
2

2

+ y 2 + z 2 = V •V

b) Se o produto escalar entre dois vetoresnão nulos for igual a zero, esses dois vetores são
ortogonais entre si:

V •U = 0 ⇔ V ⊥ U
c) Derivada do módulo de um vetor:

V

2

= V •V

Derivando membro a membro vem:


2 V ⋅ V = V ′ • V + V •V ′
Observe que para derivar

V •V foi utilizada a regra do produto.

′ V ′ •V + V •V ′
V=
2V
Como

V ′ •V = V •V ′ vem:

′ 2 ⋅ V •V ′
V=
2V

dV

′ V •V ′
=V =
dt
Vd) Desenvolvimento do duplo produto vetorial:

(

)( ) ( )
(U ∧V )∧W = (U •W )⋅V − (V •W )⋅U

U ∧ V ∧ W = U • W ⋅V − U • V ⋅W

e) O vetor obtido a partir de um produto vetorial é perpendicular aos dois vetores deste produto:

W = U ∧V

⇒ W ⊥U e W ⊥V .

2.4 – Versor da Normal Principal
Será obtido um segundo versor, perpendicular ao versor tangente.
Se o módulo do versor...
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