5.0 Integração numérica

5.0 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Se f(x) é uma função contínua em [a,b] então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe F(x) tal que F’(x)=f(x).

Assim

 f ( x)dx  F (b)  F (a) a b

Mas, nem sempre é fácil de expressar esta função primitiva e, ainda existe o caso em que o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a,b]. Não conhecendo a expressão analítica de f(x), não há condições de calcular

 f ( x)dx . a b

Através dos métodos numéricos podemos obter uma aproximação para a integral f(x) num intervalo [a,b]. A idéia básica da integração numérica é a substituição de função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a,b], ou seja

 f ( x)dx  A a b

0

f ( x0 )  A1 f ( x1 )  A2 f ( x2 )  ...  An f ( xn ) ; xi  a, b i  0,1,..., n

FÓRMULAS DE NEWTON-COTES PARA A INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Nas fórmulas de Newton-Cotes a idéia é que o polinômio que aproxima f(x) razoavelmente interpole f(x) em pontos [a,b] igualmente espaçados. Entre as fórmulas de Newton-Cotes, veremos a regra dos Trapézios Repetida e a Regra 1/3 de Simpson.

5.1 REGRA DOS TRAPÉZIOS Usando a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 tem-se:

 a b

f ( x)dx 

1 ( x  x0 )  ( x  x1 )  p1 ( x)dx    . f ( x0 )  . f ( x1 )dx  I T . x h h  a 0 x0 

b  x1

x

Desta forma: f(x1).

IT 

h  f ( x0 )  f ( x1 ), que é a área do trapézio de altura h = x1 – x0 e base f(x0) e 2

Exemplo: Seja a função f ( x)  e x Tomando o intervalo [0,1],temos o Queremos calcular a área delimitada pela curva y=f(x), e pelas retas x=0 e x=1. seguinte gráfico:
Temos então a seguinte região, que aproximamos por um trapézio.

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Calculando através da integral, que nos fornece a Calculando pela área do trapézio, temos: área exata, temos

A   e x dx  e1  e0  1,718281828
0

1

A

B  bh  e  11  1,859140914
2 2

Temos