Matlab

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2. Aplicação do Matlab à Resolução de Problemas
Neste capítulo mostram-se as potencialidades do Matlab para resolver alguns problemas concretos. Destacam-se sobretudo as suas capacidades de cálculo numérico e gráficos.

2.1. Estudo de Polinómios
Nesta parte aborda-se o uso do Matlab ao estudo de polinómios. A saber referem-se as seguinte funções do Matlab:
! conv ! deconv ! polyval ! roots !poly ! polyder Produto de dois polinómios Divisão de dois polinómios Calcula o valor de um polinómio y=f(x) dado o valor de x Raízes de um polinómio Calcula um polinómio dadas as suas raízes Calcula a derivada de um polinómio

Na introdução teórica referiram-se como aspectos interessantes sobre este assunto algumas operações polinomiais, determinação de raízes e cálculo de polinómios conhecidasas suas raízes. Aborda-se agora como o uso do Matlab pode ser útil nestes casos. 2.1.1 Definição de um polinómio Um polinómio é definido em Matlab à custa de um vector, cujos valores são os coeficientes do polinómio ordenado por ordem decrescente das suas potências. Por exemplo o polinómio

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2.1 Estudo de polinómios

f(x) = x2 + x - 6 é definido como,
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polinomio = [ 1 1 -6] ]Mais exemplos f(x) = x2 – 6
>>

polinomio = [ 1 0 -6] ]

f(x) = x3 - x
>>

polinomio = [ 1 0 -1 0 ]

f(x) = x4 - x3 - 2 x2 + 3
>>

polinomio = [ 1 -1 -2 0 3 ]

2.1.2 Cálculo de valores de polinómios

Existem duas formas de calcular o valor de um polinómio: ‘escrevendo’ directamente o polinómio ou usando a função polyval. Da primeira forma procede-se como se indica. Seja o polinómiof(x) = x4 - 3x3 - 2 x2 + 3 O valor de f(x=4) pode-se calcular como
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x = 4; f4 = x^4 - 3*x^3 - 2*x^2 + 3 f4 = 35.0

Pode-se calcular de uma só vez o valor para um conjunto de valores (vector neste caso).
Matlab: Ferramenta de simulação computacional e cálculo numérico 51

2.1 Estudo de polinómios
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w = 0:1:10; f = w.^4 - 3*w^3 - 2*w.^2 + 3

Usando a função polyval
y =polyval( polinomio, x)

é possível calcular o valor de polinómio (pol) no ponto x. Para o exemplo em questão
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x = 4 pol = [ 1 -3 -2 0 3 ] f4 = polyval( pol, x) f4 = 35.0

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w = 0:1:10; f = polyval( pol, w)

Portanto quando x é um escalar polyval devolve um escalar, quando w é um vector devolve um vector. 1.1.3 - Operações aritméticas A adição consiste em somarsimplesmente dois vectores. Por exemplo pretende-se somar os dois seguintes vectores f(x) = x4 - 3 x2 - x + 2 g(x) = 4 x3 - 2 x2 + 5 x - 16 A sua soma s(x) = f(x) + g(x) é calculada como se indica,
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f = [ 1 g = [ 0

0 -3 -1 4 -2

2 ]

5 -16 ]

s = f + g s = [ 1 4 -5 4 -14 ]

O polinómio calculado é s(x) = x4 + 4 x4 - 5 x2 + 4 x - 14
Matlab: Ferramenta de simulação computacional ecálculo numérico 52

2.1 Estudo de polinómios
Multiplicação por um escalar

A multiplicação de um polinómio por um escalar obtém-se simplesmente pela multiplicação de um vector (que define o polinómio) por um escalar. Seja o polinómio s(x) = 3*f(x), em que f(x) é o polinómio definido acima então,
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f = [ 1 s = 3*f s = [ 3

0 -3

-1

2 ]

0 -9

-3

6 ]

Portanto s(x)= 3 x4 - 9 x2 - 3 x + 6
Multiplicação de dois polinómios

A multiplicação de dois polinómios é conseguida usando a função conv. Por exemplo pretendese multiplicar os polinómios f(x) e g(x) f(x) = x2 - x + 2 g(x) = 5 x - 16
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f = [ 1 -1 g = [ 5

2 ]

-16 ]

s = conv( f, g) s = [ 5 -17 -6 -32 ]

Seria o mesmo que s(x) = 5 x3 - 17 x2 - 6 x – 32

Divisão de dois PolinómiosA divisão de dois polinómios é conseguida em Matlab usando a função deconv. Para dividir os polinómios f(x) = x2 - x + 2 g(x) = 5 x - 16 faz-se
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[q,r] = deconv(f,g) ] q = [ 0.20 0.44] ] r = [ 0.0 0.0 9.04] ]

A função deconv calcula o quociente (q) e o resto (r) da divisão dos polinómios. Neste caso,
Matlab: Ferramenta de simulação computacional e cálculo numérico 53

2.1...
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