Det Dp

escrevemos a = det T . Assim, det T é o escalar tal que f (T v1 , ..., T vn ) = det T · f (v1 , ..., vn ) quaisquer que sejam v1 , ..., vn ∈ V e f ∈ An (V, K). CAPÍTULO 5. DETERMINANTES 64 Proposição 5.7 Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre K. (1) Se I : V −→ V é a identidade, então det I = 1. (2) Se L, T ∈ L(V ), então det(L ◦ T ) = det L · det T . (3) T ∈ L(V ) é invertível ⇔ det T = 0. Dem. Para todo f ∈ An (V, K) e v1 , ..., vn ∈ V arbitrários, temos: (1) f (Iv1 , ...,…

x 1 y = 0 z 0 0 1 0 cos θ − sen θ sen θ cos θ  0 0  1 3. Sejam D= 1 0 0 −1 . e P= . Sabendo-se que A = Pt DP, calcule D2 , PPt e A2 . 4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: (a) (b) (c) (d) (e) Marco 2012 ¸ Se A2 = −2A4 , ent˜ o ( In + A2 )( In − 2A2 ) = In ; a t DP, onde D e uma matriz diagonal, ent˜ o At = A; ´ Se A = P a ´ Se D e uma matriz diagonal, ent˜ o DA = AD, para toda matriz A, n × n; a Se B = AAt , ent˜ o

x 1 y = 0 z 0 0 1 0 cos θ − sen θ sen θ cos θ  0 0  1 3. Sejam D= 1 0 0 −1 . e P= . Sabendo-se que A = Pt DP, calcule D2 , PPt e A2 . 4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: (a) (b) (c) (d) (e) Marco 2012 ¸ Se A2 = −2A4 , ent˜ o ( In + A2 )( In − 2A2 ) = In ; a t DP, onde D e uma matriz diagonal, ent˜ o At = A; ´ Se A = P a ´ Se D e uma matriz diagonal, ent˜ o DA = AD, para toda matriz A, n × n; a Se B = AAt , ent˜ o

x 1 y = 0 z 0 0 1 0 cos θ − sen θ sen θ cos θ  0 0  1 3. Sejam D= 1 0 0 −1 . e P= . Sabendo-se que A = Pt DP, calcule D2 , PPt e A2 . 4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: (a) (b) (c) (d) (e) Marco 2012 ¸ Se A2 = −2A4 , ent˜ o ( In + A2 )( In − 2A2 ) = In ; a t DP, onde D e uma matriz diagonal, ent˜ o At = A; ´ Se A = P a ´ Se D e uma matriz diagonal, ent˜ o DA = AD, para toda matriz A, n × n; a Se B = AAt , ent˜ o

x 1 y = 0 z 0 0 1 0 cos θ − sen θ sen θ cos θ  0 0  1 3. Sejam D= 1 0 0 −1 . e P= . Sabendo-se que A = Pt DP, calcule D2 , PPt e A2 . 4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: (a) (b) (c) (d) (e) Marco 2012 ¸ Se A2 = −2A4 , ent˜ o ( In + A2 )( In − 2A2 ) = In ; a t DP, onde D e uma matriz diagonal, ent˜ o At = A; ´ Se A = P a ´ Se D e uma matriz diagonal, ent˜ o DA = AD, para toda matriz A, n × n; a Se B = AAt , ent˜ o

1 0  0 0 1 1 0 8 5 −2 z 3. Sejam D= 1 0 0 −1 . e P = Sabendo-se que A = P t DP , calcule D 2 , P P t e A2 . cos θ sen θ −sen θ cos θ . 4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica 13 de dezembro de 2001 1.2 Sistemas de Equa¸co ˜es Lineares 67 (a) Se A2 = −2A4 , ent˜ao (In + A2 )(In − 2A2 ) = In ; (b) Se A = P t DP , onde D ´e uma matriz diagonal, ent˜ao At = A; (c) Se D ´e uma matriz diagonal,…

x 1 y = 0 z 0 0 1 0 cos θ − sen θ sen θ cos θ  0 0  1 3. Sejam D= 1 0 0 −1 . e P= . Sabendo-se que A = Pt DP, calcule D2 , PPt e A2 . 4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: (a) (b) (c) (d) (e) Marco 2012 ¸ Se A2 = −2A4 , ent˜ o ( In + A2 )( In − 2A2 ) = In ; a t DP, onde D e uma matriz diagonal, ent˜ o At = A; ´ Se A = P a ´ Se D e uma matriz diagonal, ent˜ o DA = AD, para toda matriz A, n × n; a Se B = AAt , ent˜ o

x 1 y = 0 z 0 0 1 0 cos θ − sen θ sen θ cos θ  0 0  1 3. Sejam D= 1 0 0 −1 . e P= . Sabendo-se que A = Pt DP, calcule D2 , PPt e A2 . 4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: (a) (b) (c) (d) (e) Marco 2012 ¸ Se A2 = −2A4 , ent˜ o ( In + A2 )( In − 2A2 ) = In ; a t DP, onde D e uma matriz diagonal, ent˜ o At = A; ´ Se A = P a ´ Se D e uma matriz diagonal, ent˜ o DA = AD, para toda matriz A, n × n; a Se B = AAt , ent˜ o

x 1 y = 0 z 0 0 1 0 cos θ − sen θ sen θ cos θ  0 0  1 3. Sejam D= 1 0 0 −1 . e P= . Sabendo-se que A = Pt DP, calcule D2 , PPt e A2 . 4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: (a) (b) (c) (d) (e) Marco 2012 ¸ Se A2 = −2A4 , ent˜ o ( In + A2 )( In − 2A2 ) = In ; a t DP, onde D e uma matriz diagonal, ent˜ o At = A; ´ Se A = P a ´ Se D e uma matriz diagonal, ent˜ o DA = AD, para toda matriz A, n × n; a Se B = AAt , ent˜ o

x 1 y = 0 z 0 0 1 0 cos θ − sen θ sen θ cos θ  0 0  1 3. Sejam D= 1 0 0 −1 . e P= . Sabendo-se que A = Pt DP, calcule D2 , PPt e A2 . 4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: (a) (b) (c) (d) (e) Marco 2012 ¸ Se A2 = −2A4 , ent˜ o ( In + A2 )( In − 2A2 ) = In ; a t DP, onde D e uma matriz diagonal, ent˜ o At = A; ´ Se A = P a ´ Se D e uma matriz diagonal, ent˜ o DA = AD, para toda matriz A, n × n; a Se B = AAt , ent˜ o