S Ries De Fourier

Séries de Fourier

Em 1804 (Journal de Mines 17, p. 203), o físico francês Jean-Baptiste Biot (1774-1862), foi um dos primeiros a apresentar uma expressão matemática para estudar a condução do calor nas barras metálicas, ocasião em que fez a distinção entre condução interna e radiação externa. Sua expressão (representada pela equação diferencial: d2T – k T dx = 0, onde T é a temperatura, k a condutividade térmica, e x a posição), contudo, apresentava uma grande dificuldade, pois não levava em consideração o tempo (t), parâmetro fundamental para tratar a condução térmica. Mais tarde, em 1807, o matemático francês Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) comunicou à Academia Francesa de Ciências (AFC) uma memória que continha uma expressão matemática para explicar a difusão do calor em corpos de formas especiais (retângulo, anel, esfera, cilindro e prisma), e que contornava a dificuldade da equação de Biot, pois sua expressão envolvia o tempo (t).
A história das séries de Fourier ilustra como a solução de um problema físico acaba gerando novas fronteiras na matemática. Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa propagação deveria se dar por ondas de calor e levando em conta que a forma mais simples de uma onda é uma função senoidal, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos.

O que é uma série de Fourier.

Uma função periódica pode ser bem mais complicada que uma senóide. Veja o exemplo da função f(x) mostrada na figura ao lado. Essa curva também é periódica mas, não é apenas um seno ou um cosseno. Como achar uma função matemática que descreva uma curva como essa?

Foi isso que Fourier descobriu, no início do século 19. Segundo ele, qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funçoes seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos