C Lculo III S Rie De Fourier

Cálculo III - Séries de Fourier

SÉRIES DE FOURIER
1. FUNÇÕES PERIÓDICAS:
As funções periódicas podem ser definidas como aquelas funções f(t) para as quais: f (t ) = f (t + T)

(1.1)

para qualquer t real (vide Figura 1.1). A menor constante T que satisfaz (1.1) é chamada período da função f(t). Por iteração de (1.1), temos para todo t real que: f ( t ) = f (t + nT ), n = 0,±1,±2, K ,

(1.2)
4
2
-2π

-π

π

2π

3π

T=2π

Figura 1.1. Um exemplo de função periódica de período T = 2π.

t t Exemplo 1: Ache o período da função f ( t ) = cos + cos .
4
3
Solução: Se a função f(t) for periódica com um período T, então, de (1.1), resulta: cos 1
(t + T ) + cos 1 (t + T ) = cos t + cos t .
3
4
3
4

Como cos(φ + 2πm ) = cos φ , para qualquer inteiro m, então

1
T = 2πm, e
3

1
T = 2πn , onde m e n
4

são inteiros. Portanto, T = 6πm = 8πn. Quando m = 4 e n = 3, obtemos o menor valor de T. Isto pode

ser visto mediante um processo de tentativa. Então, T = 24π .
Em geral, se a função f ( t ) = cos ω1t + cos ω2 t for periódica com período T, deverá ser possível, então, achar dois inteiros m e n, tais que: ω1T = 2πm

(1.3)

e ω 2 T = 2πn .

(1.4)

O quociente de (1.3) por (1.4) é
1

Cálculo III - Séries de Fourier

ω1 m
= , ω2 n

(1.5)

Isto é, a razão ω1 / ω2 deve ser um número racional.
Neste ponto, é importante observar que funções do tipo A cos( ωt + φ) (não devemos esquecer que os senos estão incluídos neste grupo, pois sen( t ) = cos( t − π / 2) ) são funções periódicas de período T, denominadas senóides, onde: ω =

2π
= 2πf é dita velocidade angular, f = 1 é
T
T

denominada freqüência, A é a amplitude e φ o ângulo de fase.
Exemplo 2: A função f ( t ) = cos10 t + cos(10 + π )t é periódica? ω1 10
=
não é um número racional, ω2 10 + π

Solução: Neste caso, ω1 = 10 e ω 2 = 10 + π. Assim,

ou seja, é impossível achar um valor T para o qual (1.1) seja satisfeita. Portanto, f(t) não é periódica.
Exemplo 3: Ache o período da função f (t ) = (10 cos t )2 .

Solução: Usando a