C Lculo III

Disciplina: Cálculo III
Docente: Claudio Cesar Manso Passos
Aluno(a):

Matrícula:

Aula de revisão para A2
1) Dos seguintes campos vetoriais quais os que são conservativos?
a) 𝑓⃗(x; y; z) = (x2cosy + z; y2seny + 1; z2 – xy) em R3
b) 𝑓⃗(x; y; z) = (- cosx + senx; z; y) em R3
c) 𝑓⃗ (x; y; z) = (2y; 5xz; x2y2z2) em R3
d) 𝑓⃗ (x; y; z) = (lnxyz; lnyz; lnzx) em R3;
e) 𝑓⃗ (x; y) = (𝑥 2 + 𝑦; 𝑦 2 − 𝑥) em R2;
f)

𝑓⃗ (x; y; z) = (𝑦 2 − 3 −

𝑦
1
;
𝑥 2 +𝑥𝑦 𝑥+𝑦

+ 2𝑥𝑦 + 2𝑦)

2) Dado o campo conservativo 𝑓⃗ (x; y; z) = (yez; xez; xyez) em R3,, determine uma função potencial a ele.
3) Dado o campo conservativo 𝑓⃗ (x; y) = (1 + ysenx; 1 - cosx) em R2,, determine uma função potencial a ele.
4) Dado o campo conservativo 𝑓⃗ (x; y; z) = (ex; 2ey; 3ez) em R3,, determine uma função potencial a ele.
5) Calcule a integral de linha do campo escalar ∫(3𝑦 − √𝑧)𝑑𝑠, sobre C, onde C é o arco de parábola z = y2, x = 1 ,de A(1; 0; 0) a B(1; 2; 4).
6) Calcule a integral de linha do campo escalar ∫(𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧)𝑑𝑠, sobre C, onde C é 𝑟⃗(𝑡) =
(𝑐𝑜𝑠𝑡; 𝑠𝑒𝑛𝑡; 𝑡) do ponto P(1; 0; 0) até Q(1; 0; 2𝜋).
7) Determinar o trabalho realizado pela força 𝑓⃗(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥; 0; 2𝑧) para deslocar uma partícula ao longo da poligonal que une os pontos A(0; 0; 0) B(0; 1; 0), C(0; 1; 1) e D(1;
1;1) no sentido de A para D.
8) Uma partícula se move ao longo da circunferência x2 + y2 = 4, z = 2, sob a ação do campo
𝑟⃗
de força 𝑓⃗(𝑥; 𝑦; 𝑧) = −
, onde 𝑟⃗ = (x; y; z). Determinar o trabalho realizado por 𝑓⃗,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗|3 |
||𝑟

se a posição inicial da partícula é P(2; 0; 2) e ela se move no sentido anti-horário, completando uma volta.
𝑑𝑦

9) Considerando a equação diferencial 𝑑𝑥 - 2y = 𝑒 5𝑥 , determine sua solução geral e a curva dessa família que passa pelo ponto (ln1; 1).

𝑑𝑦

10) Resolva a equação diferencial 𝑑𝑥 =

2𝑥𝑦+2𝑦−𝑥−1
𝑥𝑦−3𝑦+𝑥−3

∶

11) Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de x + y = c1ey que passam por (0; 5).
12) Encontre as curvas