A Lei de Gauss

Páginas: 8 (1774 palavras) Publicado: 10 de outubro de 2014
Cap´
ıtulo 2

Lei de Gauss
2.1

Fluxo El´trico
e

• O fluxo ΦE de um campo vetorial E constante perpendicular a uma superf´ A ´ definido como
ıcie e
ΦE = EA

(2.1)

• Fluxo mede o quanto o campo atravessa a superf´
ıcie.
Mede densidade de linhas de campo.
Figura 2.1: Fluxo de E constante atrav´s
e
de A perpendicular. (Serway)

• O fluxo ΦE de E constante formando um ˆngulo θ
acom A ´ definido como
e
ΦE = EA cos θ = E · A

(2.2)

• Mede o quanto a componente perpendicular do
campo, i.e. E cos θ, atravessa a superf´ A. Ou,
ıcie
similarmente, o quanto o campo E atravessa a comFigura 2.2: Fluxo de E constante atrav´s
e
ponente normal da ´rea, i.e. A cos θ.
a
de A formando ˆngulo θ. (Serway)
a

21

CAP´
ITULO 2. LEI DE GAUSS

22

• Generalizandopara um campo el´trico qualquer e
e
uma superf´ qualquer, o fluxo el´trico ΦA atrav´s
ıcie
e
e
E
de A ´ definido como
e
ΦA ≡
E

E · dA

(2.3)

A

onde dA ´ o vetor ´rea perpendicular ` superf´
e
a
a
ıcie.
Novamente E · dA = E dA cos θ, onde θ ´ o ˆngulo
e a
entre E e dA, conforme Fig. 2.3
• Para θ < 90o , Φ > 0, fluxo saindo.
• Para θ > 90o , Φ < 0, fluxo entrando.
• Para θ =2.2

90o ,

Figura 2.3: Fluxo el´trico atrav´s da sue
e
perf´ A. O fluxo ´ positivo, zero e negaıcie
e
tivo nos pontos 1, 2 e 3 respectivamente, de
acordo com o ˆngulo θ. (Serway)
a

Φ = 0, sem fluxo.

Lei de Gauss

A Lei de Gauss relaciona o fluxo el´trico atrav´s de uma superf´ fechada A com a carga el´trica
e
e
ıcie
e
qin dentro da superf´
ıcie
ΦA ≡
E

E · dA =
Aqin
ǫ0

(Lei de Gauss)

(2.4)

A Lei de Gauss ´ uma das Eqs. de Maxwell, i.e. ´ uma lei fundamental do eletromagnetismo.
e
e
Vamos mostrar que a Lei de Coulomb para cargas pontuais implica a Lei de Gauss. Nos exemplos,
ser´ trivial mostrar que a Lei de Gauss implica a Lei de Coulomb e, portanto, elas s˜o equivalentes.
a
a
Primeiramente, considere uma carga pontual como na
Fig 2.4,cujo campo el´trico a uma distˆncia r ´ dado
e
a
e
pela Lei de Coulomb. Considere o fluxo ΦE atrav´s de
e
uma superf´ Gaussiana esf´rica de raio r e centro na
ıcie
e
carga. Por simetria E ´ paralelo a dA, e temos
e

ΦE =

E · dA =
A

Figura 2.4: A Lei de Gauss ´ verificada para
e
uma carga pontual usando a Lei de Coulomb. (Halliday)

E dA cos 0
A

= E

dA = EA
A

=

q4πǫ0 r2

(4πr2 ) =

q
ǫ0

(2.5)

Portanto a Lei de Gauss ´ obtida nesse caso. Considere agora o fluxo em uma superf´ qualquer.
e
ıcie
O ponto crucial ´ que o fluxo atrav´s dessa superf´ ´ igual ao fluxo atrav´s da superf´ esf´rica.
e
e
ıcie e
e
ıcie e

23

2.2. LEI DE GAUSS
Para mostrar isso, considere a Fig 2.5 para dois segmentos de superf´
ıcies esf´ricas com ´reas a e b.Pela Lei de
e
a
Coulomb
2
2
Ea ra = Eb rb

E como os segmentos a e b determinam o mesmo ˆngulo
a
s´lido ∆Ω
o
b
a
∆Ω = 2 = 2
ra
rb
Portanto o fluxo
Φb = Eb b = Ea

2
ra
2
rb

a

2
rb
2
ra

Figura 2.5: Superficie Gaussiana com dois
segmentos esf´ricos. (Feynman)
e

= Ea a = Φa

ou seja, os fluxos s˜o os mesmo nas duas superf´
a
ıcies,
uma consequˆncia do campodecair com o quadrado da
e
distˆncia, enquanto a ´rea cresce com o quadrado da
a
a
distˆncia.
a
Se introduzirmos agora um ˆngulo nesses segmentos
a
com rela¸˜o aos campos, como na Fig 2.6 , temos que a
ca
nova area b′ = b/ cos θ enquanto o campo normal En =
Eb cos θ. Portanto o fluxo
Φ′ = En b′ = (Eb cos θ)
b

b
cos θ

Figura 2.6: Segmentos formando ˆngulos
a
com o campo. (Feynman)= Eb b = Φb

ou seja, o fluxo ´ o mesmo em uma superf´ qualquer.
e
ıcie
Se a carga estiver fora de uma superf´ fechada qualıcie
quer, como na Fig 2.7, podemos sempre visualizar essa
superf´ como uma soma de cones truncados como os
ıcie
da Fig 2.6. Para cada par de segmentos, o fluxo em ambas as superf´
ıcies ´ igual e oposto e, portanto, se anulam.
e
Somando todas as contribui¸˜es...
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