vetores

Páginas: 9 (2223 palavras) Publicado: 7 de abril de 2014
Ângulo entre dois vetores[editar | editar código-fonte]
Observemos o gráfico:

Angle between two vectors.svg

Relação entre o ângulo e o produto escalar de dois vetores

Dados dois vetores \vec{A},\vec{B}, é possível demonstrar que o cosseno do ângulo entre os dois vetores é proporcional ao produto interno (escalar), relacionado-se da seguinte forma:

\vec{A} \cdot \vec{B} =|\vec{A}||\vec{B}| \cos(\theta)

Demonstração:

Observemos o gráfico abaixo:

Calculando o produto escalar

O gráfico mostra dois vetores relacionados pelo ângulo \theta, é importante notar que temos um triângulo, que pode ser generalizado pela lei dos cossenos, o que nos permite fazer a relação entre o ângulo e os dois vetores.

Considerando os vetores na ilustração acima, podemos fazer o cálculodo módulo de sua diferença, utilizando a conhecida relação da lei dos cossenos para o triângulo:

|\vec{v}-\vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2|\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

(\vec{v}-\vec{u}) \cdot (\vec{v}-\vec{u}) = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2|\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

\vec{v} \cdot \vec{v} - 2 \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 -2|\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

|\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2 \vec{v} \cdot \vec{u} = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2|\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

- 2 \vec{v} \cdot \vec{u} = - 2|\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

Portanto:

\vec{v} \cdot \vec{u} = |\vec{v}||\vec{u}| \cos(\theta)

Relação entre produto vetorial e ângulo entre vetores[editar | editar código-fonte]
Seja os vetores\vec{v} e \vec{u} vetores em \R^3, é possível provar que o módulo do vetor resultante do produto vetorial destes, é proporcional ao seno do ângulo \theta entre os dois vetores, relacionado-se da seguinte forma:

|\vec{v} \times \vec{u}| = |\vec{v}||\vec{u}| \operatorname{sen}(\theta) Comprovação: Façamos a operação conforme indicado na definição para verificar a evolução:

\vec{v} \times \vec{u} =\langle v_y u_z-u_y v_z,v_x u_z-u_x v_z,v_x u_y-u_x v_y \rangle

De onde calculamos o seu módulo:

|\vec{v} \times \vec{u}|^2 = (v_y u_z-u_y v_z)^2+(v_x u_z-u_x v_z)^2+(v_x u_y-u_x v_y)^2

|\vec{v} \times \vec{u}|^2 = v_y^2 u_z^2-2 v_y u_z u_y v_z + u_y^2 v_z^2+ v_x^2 u_z^2 - 2 v_x u_z u_x v_z + u_x ^2 v_z^2 + v_x^2 u_y^2 - 2 v_x u_y u_x v_y + u_x^2 v_y^2

|\vec{v} \times \vec{u}|^2 =(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)(u_x^2 + u_y^2 + u_z^2) - (v_x u_x + v_y u_y + v_z u_z)^2

Como já sabemos, podemos aplicar as propriedades já estudadas para os vetores:

|\vec{v} \times \vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 |\vec{u}|^2 - (\vec{v} \cdot \vec{v})^2

|\vec{v} \times \vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 |\vec{u}|^2 \cos^2(\theta)

|\vec{v} \times \vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 |\vec{u}|^2\left[1 - \cos^2(\theta) \right]

|\vec{v} \times \vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 |\vec{u}|^2 \operatorname{sen}^2(\theta)

Lembremos que, se:

a^2 = \operatorname{sen}^2 (\theta),

a = \operatorname{sen}(\theta)

Quando 0 \le \theta \le \pi

logo:

|\vec{v} \times \vec{u}| = |\vec{v}| |\vec{u}| \operatorname{sen}(\theta)

Interpretação do produto vetorial[editar | editar código-fonte]
Ovetor resultante do produto vetorial apresenta módulo igual à área do paralelogramo delimitado pelos dois vetores que lhe deram origem, observemos o gráfico abaixo:

Produto vetorial
Como já sabemos, os vetores \vec{v},\vec{u} que mantêm um ângulo \theta entre eles, quando multiplicados, podem ser expressos desta forma:

|\vec{v} \times \vec{u}| = |\vec{v}||\vec{u}| \operatorname{sen}(\theta)Considere a seguinte separação:

|\vec{v} \times \vec{u}| = |\vec{v}|\ \underbrace{|\vec{u}| \operatorname{sen}(\theta)}

|\vec{v} \times \vec{u}| = |\vec{v}| \cdot \quad h

Muito convenientemente, podemos verificar que h é a altura do paralelogramo, que multiplicado pela norma do vetor \vec{v} nos dá a área do paralelogramo. Da mesma forma verifiquemos que o produto vetorial nos fornece...
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