vetores

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 3
DEPENDÊNCIA LINEAR

1 Combinação Linear
Definição: Seja {v1, v2 ,..., vn} um conjunto com n vetores. Dizemos que um vetor u é combinação linear desses n vetores, se existirem escalares a1 , a2 ,..., an ∈ ℜ tais que n u = a1v1 + a2 v 2 + ... + anv n , ou seja, u =

∑ aivi . i =1

Exemplo (1): Considere os vetores

u = (−4,10,5) ,

v1 = (1,1,−2) ,

v2 = (2,0,3)

e

v 3 = (−1,2,3) .
a) Escrever, se possível, o vetor u como combinação linear dos vetores v1 , v 2 e v 3 .
b) Escrever, se possível, o vetor u como combinação linear dos vetores v 2 e v 3 .

Solução:
a) Para que u seja combinação linear dos vetores

{v1 , v 2 , v 3 } ,

devem existir

escalares α, β, γ ∈ ℜ tais que u = αv1 + β v 2 + γv 3 . Então:

α + 2β − γ = −4

(−4,10,5) = α(1,1,−2) + β(2,0,3) + γ(−1,2,3) ⇒ α + 2γ = 10
. Resolvendo o sistema
− 2α + 3β + 3γ = 5

linear vamos obter: α = 2, β = −1 e γ = 4 . Portanto: u = 2v1 − v2 + 4v3 .
b) Para que u seja combinação linear dos vetores v 2 e v 3 , devem existir escalares m e n ∈ ℜ tais que u = mv 2 + nv 3 . Então:

2m − n = −4

(−4,10,5) = m(2,0,3) + n(−1,2,3) ⇒ 2n = 10
. Da segunda equação obtemos n = 5 .
3m + 3n = 5

Substituindo nas outras duas obtemos m = 1 e m = − 10 . O que é uma contradição.
2
3
Logo o sistema linear é impossível e não admite solução real. Portanto, não existem escalares m e n ∈ ℜ tais que u = mv 2 + nv 3 , ou seja, não é possível escrever o vetor u como combinação linear dos vetores v 2 e v 3 .

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2 Vetores LI e LD

Definição: Dizemos que os vetores v1, v2 , ..., vn são linearmente independentes
(vetores LI) se a expressão a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 se verifica somente se os escalares a1, a2 ,..., an ∈ ℜ forem todos nulos, ou seja, a1 = a2 = ... = an = 0 .

Definição: Dizemos que os vetores v1, v2 , ..., vn são linearmente dependentes
(vetores LD) se a expressão a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 se