Vetores

Multiplicação por escalares[editar]

Definimos que se expressando apenas valor numérico, então o denominamos escalar.
O produto de um escalar por um vetor é encontrado pela notação:

que operamos:

onde: é o vetor resultante; é o vetor parâmetro original; é o escalar.
Esta operação pode ser observada graficamente ao lado:
Note que todos os vetores gerados pela multiplicação por escalares são paralelos ao original, quando multiplicamos um vetor por temos uma inversão de sentido e qualquer valor de escalar diferente de altera a magnitude do vetor.
Produto escalar[editar]
O produto escalar, também denominado produto interno, é o produto de dois vetores que resulta em um escalar, a operação que define o seu valor definimos abaixo.
Consideremos dois vetores cujos componentes são notados por e respectivamente, sendo uma das dimensões: então o produto escalar é definido como:

Propriedades do produto escalar[editar]
As propriedades do produto escalar são facilmente demonstráveis e estão na tabela abaixo, na mesma convencionamos que: são vetores em é um escalar.
Propriedade
Operação
Produto nulo

Comutativa do produto escalar

Associativa entre produto escalar e produto por escalares

Distributiva

Escalar quadrado

A demonstração das propriedades acima fica como exercício, uma vez que todas são intuitivas, não será difícil conseguir demonstrar cada uma delas, para isto basta efetuar a operação do produto escalar e utilizar regras básicas de operações algébricas.
Produto vetorial[editar]
As operações com vetores podem, muitas vezes, parecer estranhas a princípio, porém depois que entendemos a sua finalidade e o conceito do fundamento que está por trás de seu comportamento nos habituamos, podendo aproveitar dos recursos que estas operações podem nos oferecer. Um dos cálculos mais intrigantes dentro do universo dos vetores é o chamadoproduto vetorial, que é definido pela seguinte operação:
Sejam os vetores o produto