Tratamento algebrico

Páginas: 6 (1378 palavras) Publicado: 29 de abril de 2013
´ VETORES - TRATAMENTO ALGEBRICO − − a Sejam dois vetores, → e →, n˜o-paralelos. Ent˜o, para cada vetor v, exite uma s´ dupla de n´meros reais v1 v2 a o u →+a →. − − a1 e a2 tais que v = a1 v1 2 v2 Neste caso, dizemos que: − − v ´ combina¸˜o linear de → e → e ca v1 v2 e − − e B = {→, →} ´ base v1 v2 Nota¸ao: v = (a1 , a2 )B ou vB = (a1 , a2 ) c˜ − − e Uma base {→, →} ´ ortonormal se e1 e2 → ⊥ →(ortogonais) − e1 − e2 e − − |→| = |→| = 1 (unit´rios) e1 e2 a onde i = (1, 0) e j = (0, 1).

Base canˆnica ´ a base C = i, j o e v = xi + y j v = (x, y) (express˜o anal´ a ıtica)

Defini¸˜o (alg´brica de vetor): Vetor no plano ´ um par ordenado (x, y) de n´meros reais. ca e e u − Igualdade de vetores: Sejam dois vetores u = (x1 , y1 ) e → = (x2 , y2 ). Ent˜o u = v ⇔ x1 = x2 e y1 = y2 . v aExemplo 1 Sejam u = (x + 1, 4) e v = (5, 2y − 6). Ent˜o u = v se, e somente se, a x+1=5⇒x=4 2y − 6 = 4 ⇒ y = 5

− Opera¸˜es com vetores: Sejam os vetores u = (x1 , y1 ) e → = (x2 , y2 ) e α ∈ R. Ent˜o: co v a 1) u ± v = (x1 , y1 ) ± (x2 , y2 ) = (x1 ± x2 , y1 ± +y2 ) 2) αu = α (x1 , y1 ) = (αx1 , αy1 ) Propriedades: Para quaisquer vetores u, v e w e escalares α e β, tem-se: u+v =v+u u+0=u (u + v) +w = u + (v + w) u + (−u) = 0 α (βv) = (αβ) v α (u + v) = αu + αv (α + β) v = αv + βv 1v = v

Exemplo 2 Se u = (2, −3), v = (−1, 4) e w = (1, 0) ent˜o a 2u + v − 3w = 2 (2, −3) + (−1, 4) − 3 (1, 0) = (4, −6) + (−1, 4) − (3, 0) = (4 − 1 − 3, −6 + 4 − 0) = (0, −2) 1 Exemplo 3 Sendo u = (3, −1) e v = (−2, 4), determinar o vetor x tal que 3x + 2u + v + x. 2 1 3x + 2u = v + x ⇒ 6x + 4u = v + 2x ⇒ 6x −2x = v − 4u ⇒ 4x = v − 4u 2 1 1 1 ⇒ x = (v − 4u) ⇒ x = v − u ⇒ x = (−2, 4) − (3, −1) 4 4 4 1 1 7 ⇒ x = − , 1 − (3, −1) ⇒ x = − − 3, 1 + 1 ⇒ x = − , 2 2 2 2

− − − − Exemplo 4 Sendo v = (10, 2), → = (3, 5) e → = (−1, 2), encontrar a1 , a2 ∈ R tais que v = a1 → + a2 →. v1 v2 v1 v2 → + a → ⇒ (10, 2) = a (3, 5) + a (−1, 2) − − v = a1 v1 2 v2 1 2 ⇒ (10, 2) = (3a1 , 5a1 ) + (−a2 , 2a2 ) = (3a1 − a2, 5a1 + 2a2 ) 3a − a2 = 10 6a1 − 2a2 = 20 ⇒ 5a1 + 2a = 2 ⇒ 5a1 + 2a2 = 2 1 2 Somando as duas equa¸˜es, temos 11a1 = 22 ⇒ a1 = 2 . co Substituindo em 3a1 − a2 = 10, temos 6 − a2 = 10 ⇒ a2 = −4 Exerc´ ıcio 1 (P´g. 40 - Ex. 1) Dados os vetores u = 2i − 3j, v = i − j e w = −2i + j, determinar: a a) 2u − v Resposta: 3i − 5j

b) v − u + 2w

Resposta: −5i + 4j

c)

1 u − 2v − w 2

1 Resposta: i− j 2

1 1 d) 3u − v − w 2 2

Resposta:

13 i − 9j 2

Exerc´ ıcio 2 (P´g. 40 - Ex. 2) Dados os vetores u = (3, −1) e v = (−1, 2), determinar o vetor x tal que: a 1 a) 4 (u − v) + x = 2u − x 3 Resposta: − 15 15 , 2 2

b) 3x − (2v − u) = 2 (4x − 3u)

Resposta:

23 11 ,− 5 5

Exerc´ ıcio 3 (P´g. 40 - Ex. 4) Dados os vetores u = (2, −4), v = (−5, 1) e w = (−12, 6), determinar a1 e a2a tais que w = a1 u + a2 v. Resposta: a1 = −1 a2 = 2

−→ 1 − − → Exerc´ ıcio 4 Dados os pontos A (−1, 2) , B (3, −1) e C (−2, 4), determinar o ponto D de modo que CD = AB. 2

Vetor definido por dois pontos:

− → − − → − → AB = OB − OA − → AB = (x2 , y2 ) − (x1 , y1 ) − → AB = (x2 − x1 , y2 − y1 ) = B − A

→ −→ 1 − − Exemplo 5 Dados os pontos A (−1, 2) , B (3, −1) e C (−2, 4), determinar oponto D de modo que CD = AB. 2 −→ 1 − − → 1 1 1 CD = AB ⇒ D − C = (B − A) ⇒ D = (B − A) + C ⇒ D = [(3, −1) − (−1, 2)] + (−2, 4) 2 2 2 2 1 1 ⇒ D = [(3, −1) − (−1, 2)] + (−2, 4) ⇒ D = (4, −3) + (−2, 4) 2 2 3 5 ⇒ D = 2, − + (−2, 4) ⇒ D = 0, 2 2 Exerc´ ıcio 5 (P´g. 40 - Ex. 3) Dados os pontos A (−1, 3), B (2, 5), C (3, −1) e O (0, 0), calcular: a − → − → a) OA − AB Resposta: (−4, 1)

− → − − → b) OC− BC

Resposta: (2, 5)

− → − − → c) 3BA − 4CB

Resposta: (−5, −30)

Exerc´ ıcio 6 (P´g. 40 - Ex. 6) Sejam os pontos A (−5, 1) e B (1, 3). Determinar o vetor v = (a, b) tal que a a) B − A = 2v Resposta: v = (3, 1)

b) A = B + 3v

Resposta: v =

−2, −

2 3

Exerc´ ıcio 7 (P´g. 40 - Ex. 6) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v = (−1, 3), a sabendo...
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