Trabalho de Cálculo

Aplicação de derivadas.
No cálculo, a derivada em um ponto de uma função representa a taxa de variação instantânea de em relação à neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto de representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto. A função que a cada ponto associa a derivada neste ponto de é chamada de função derivada de f(x).
Seja um intervalo aberto não-vazio e seja , , uma função de em . Diz-se que função é derivável no ponto se existir o seguinte limite:
.
Se for esse o caso, o número real é chamado de derivada da função no ponto . Notações equivalentes são:
.
Equivalentemente, escrevemos:

o que é obtido fazendo no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de por:

para todo para o qual este limite existe.
O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:
.
Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que
.
Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).
Funções com valores em R
Se for um intervalo de R com mais do que um ponto e se for uma função de em , para algum número natural , as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função
(ou seja: uma função que a cada x do domínio em responde com uma coordenada no contradomínio em . Esta coordenada é (cosx,senx)). é derivável e

De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.
Derivada como velocidade e a aceleração.
Toda a gente sabe calcular a velocidade média a que um carro viaja entre duas povoações: Basta dividir a distância entre estas pelo tempo que se demorou a fazer o percurso. Em geral estamos interessados