SÉRIES

2.1 SEQUÊNCIAS

Sequências de números são frequentes na matemática. Por exemplo, os números (2, 4, 6, 8, 10) formam uma sequência denominada finita, pois há um último número. Já uma sequência é denominada infinita, quando não tiver último número, exemplo: (1/3, 2/5, 3/7, 4/9,...).
Sequência é uma função cujo domínio é o conjunto {1, 2, 3,..., n,...} de todos os números inteiros positivos.
Os números que formam uma sequência são chamados de elementos. Se o n-ésimo elemento for dado por f(n), então a sequência será o conjunto de pares ordenados da forma (n, f(n)), onde n é um inteiro positivo.
Exemplificação:
Se f(n) = n/(2n+1), então f(1) = 1/3, f(2) = 2/5, f(3) = 3/7, f(4) = 4/9, e assim por diante. Com a formação dos pares ordenados, é possível representar em gráfico a sequência numérica:

A sequência {an} tem o limite L se para qualquer є > 0 existir um número N > 0, tal que n for um inteiro e se n > N, então |an – L| < є, representamos:

Exemplo:
Utilizando a definição de limite em uma sequência, prove que a sequência tem limite 1/2:
{n / (2n+1)}
Precisamos mostrar que para todo є > 0 existe um número N > 0, tal que se n for inteiro e Para que a informação anterior seja válida, tomamos N = (1 - 2є) / (4є) e se n for um inteiro Observe que no caso em que є = 1/8, então N = 3/2 e torna-se

Por exemplo, se n = 4, E 1/18 < 1/8. O estabelecido prova que a sequência dada tem limite 1/2.

Se a sequência tiver um limite, dizemos que ela é convergente, e an converge para o limite. Se a sequência não for convergente, ela será divergente.
Exemplo:
Determine se a sequência é convergente ou divergente: Queremos determinar se a sequência é convergente se Lim 4n²/(2n²+1) existe. Seja então, f(x) = 4x²/(2x²+1) e vamos estudar o limite de f(x). Assim, podemos dizer que o limite de f(n) é 2, desta forma, a sequência dada é convergente e 4n²/(2n²+1) converge para 2.
Se {an} e {bn} forem sequências convergentes, e