series

RESUMO
TESTE

SÉRIE

CONVERGÊNCIA ou
DIVERGÊNCIA

COMENTÁRIOS
Nada se pode afirmar se

da
DIVERGÊNCIA
ou do N-ÉSIMO
TERMO

DIVERGE se
* CONVERGE e tem soma

SÉRIE
GEOMÉTRICA

Útil para testes de comparação se | r | < 1.
* DIVERGE se | r |

1
Útil para testes de comparação * CONVERGE se p > 1

SÉRIE-P

* DIVERGE se p

1
∞

* CONVERGE se
∞

INTEGRAL

n

n =1

an = f(n)

∞

DIVERGE
€ se
DIVERGE

€
€

f (x)dx

1

CONVERGE
•

∑a

∫

∫

f (x)dx€

1

A função f obtida de an = f(n) deve ser contínua, positiva, decrescente e facilmente integrável.

* Se €
CONVERGE,
e an ≤ bn para todo n, então
CONVERGE.

COMPARAÇÃO

e
€
an > 0, bn > 0

* Se
DIVERGE e an ≥ bn para todo n, então
DIVERGE

€

A série de comparação da
COMPARAÇÃO
no limite

e an > 0, bn > 0

* Se
, então ambas as séries CONVERGEM ou ambas DIVERGEM.

,

∑b

n

é, em

geral, uma série geométrica ou uma série-p. €

* Se

e
CONVERGE, então

Para achar bn, consideram-se apenas os termos de an que têm maior efeito. CONVERGE.

* Se

e
DIVERGE, então
DIVERGE.
Inconclusivo se L =
1

an +1
= L (ou ∞ ) a n → ∞ an série CONVERGE (
€ se L < 1 absolutamente) Se lim
RAZÃO
€

DIVERGE se L > 1 (ou ∞ )

€

RAIZ

€

Se lim n an = L (ou ∞ ) a n→∞ série CONVERGE ( absolutamente) se L < 1
€
DIVERGE se L > 1 (ou ∞ )

€
CONVERGE se: ak ≥ ak +1, para todo k e

SÉRIES
ALTERNADAS

* an > 0

€

* A série dos módulos é decrescente.

Útil se an envolve potências de grau n ou fatoriais.
Se an > 0 para todo n, pode-se desprezar o sinal de valor absoluto.
Inconclusivo se L =
1
Útil se an envolve potências de grau n ou fatoriais.
Se an > 0 para todo n, pode-se desprezar o sinal de valor absoluto.
Aplicável somente a séries alternadas.
Se o primeiro item é falso,