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Cap´tulo ı

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Sucesiones y series de funciones

10.1. Introducción
La representación de funciones complicadas por medio de funciones sencillas es una de las ideas centrales del Análisis Matemático. En este capítulo vamos a precisar algunos de los posibles significados del término “representación”. Intuitivamente, se trata de “aproximar” funciones que se suponen muy generales por otras de un tipo especialmente sencillo. Por ejemplo, podemos aproximar localmente, en las proximidades de un punto, una función derivable por sus polinomios de Taylor calculados en dicho punto. Ya hemos visto que esta aproximación es de gran utilidad para calcular límites. Ahora queremos dar un paso más y nos interesamos por representaciones que sean válidas no sólo localmente, en las proximidades de un cierto punto, sino en todo un intervalo. Hay muchas maneras de representar funciones complejas por medio de otras más simples, una de las más útiles es la representación por medio de series. Podemos describir este proceso en términos muy generales como sigue.  Se considera una clase S de “funciones simples”. Por ejemplo, S puede ser la clase de las funciones polinómicas, o la clase de todos los polinomios trigonométricos que son las n X
funciones de la forma ak cos.kx/ C bk sen.kx/ donde ak ; bk son números reales. kD0  Para representar una función f por medio de funciones de la clase S hay que asociar a dicha función una sucesión de funciones ffn g donde fn 2 S. Las funciones fn suelen interpretarse como las “componentes elementales” de la función f . La forma de obtener las funciones componentes fn de f viene dada en cada caso por un algoritmo matemá581

Introducción

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tico que, conocida la función f , permite calcular, al menos en teoría, las fn . Esta parte del proceso de representación se suele llamar “análisis” porque consiste en analizar f descomponiéndola en sus componentes más simples. Esto es algo que se hace constantemente en todos los procesos de