Sistemas Lineares

Sistemas Lineares
1. Equação Linear
Toda equação da forma

a 1 x1  a 2 x 2  ...  a n x n  b

é denominada equação linear, em

que: a 1 , a 2 ,.., a n x 1 , x 2 ,..., x n

b

são coeficientes são as incógnitas

é um termo independente

Exemplos:
a)

2 x1  3 x 2  x 3  5

é uma equação linear de três incógnitas.

b)

x  y  z  t  1

é uma equação linear de quatro incógnitas.

Observações:
1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação linear homogênea. Por exemplo: 5 x  y  0 .
2

2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma x1 , x1 .x 2 etc., isto é, cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1.
2
As equações 3 x1  2 x 2   3 e

4 x.y  z 

2

não são lineares.

3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou ênupla  1 ,  2 ,...,  n  , que, colocados respectivamente no lugar de tornam verdadeira a igualdade dada.

4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea

3x  y  0

x 1 , x 2 ,..., x n

,

é a dupla 0 ,0  .

Vejamos alguns exemplos:

1º exemplo: Dada a equação linear

4x  y  z  2 ,

encontrar uma de suas soluções.

Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z. x  2

2 .4  0  z  2


y  0

z  6

Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
2º exemplo: Dada a equação equação. Resolução:  1,  



3x  2 y  5 ,

x  1 y  

determinar  para que a dupla (-1, ) seja solução da
3 . 1  2  5



 3  2  5
 2  8     4

Resposta:  = – 4
Exercícios Propostos:

1

1. Determine m para que  1,1,  2  seja solução da equação

mx  y  2 z  6 .

Resp: -1 x y

2. Dada a equação 2  3   1 , ache  para que  , 

 1

torne a sentença verdadeira.

Resp: -8/5
2. Sistema linear.
Denomina-se sistema linear de m equações nas n