Sistema Lineares

Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as quais é possível lidar de uma única vez. Sistemas Lineares são uteis para todos os campos da matemática aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas lineares.

De maneira geral, um Sistema de Equações Lineares pode ser definido como um conjunto de m equações, sendo m ≥ 1, com n incógnitas x1, x2, x3, ... xn, de forma que:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Sendo que: a1, ..., an e b são números reais. Os números aij são os coeficientes angulares e bi é o termo independente e quando este é nulo a equação linear é chamada homogênea.

Exemplo:

Exemplo de um sistema linear

O sistema linear acima possui três equações, três incógnitas (x, y, z) e os termos independentes, que são – 7, 3 e 0. Além disso, no sistema acima há uma equação homogênea (4x + y + z = 0).

Um sistema linear também pode ser escrito em forma matricial. A seguir, a função apresentada no exemplo anterior será exposta em forma de matriz:

Forma matricial de um sistema linear

Percebe-se que a forma matricial de um sistema linear é igual ao produto matricial entre a matriz formada pelos coeficientes angulares e a matriz formada pelas incógnitas, cujo resultado é a matriz formada pelos termos independentes.

Solução de um Sistema Linear

A solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações de um sistema linear, ou seja, a ênupla ordenada (sequência ordenada de n elementos) é solução de um sistema linear S, se for solução de todas as equações de S.

Exemplo:

Gráfico da solução de um sistema linear

Os valores que satisfazem as duas equações são x = 2 e y