Robótica Industrial - Dinâmica

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS – UEA
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA – EST

ROBÓTICA INDUSTRIAL: PROVA PARCIAL #2

Professor: Israel Mazaira, Dr.
Alunos: Lorena Oliveira de Menezes – 1115180109
Renan Araújo de Lima – 1115180295

MANAUS- AM
2015

Questão:

A figura a seguir representa um robô planas de 1 g.d.l., supondo a massa concentrada ao extremo.
Y0

Ponto de
Equilíbrio 1

m

Y

Dados: m=0.5kg L

L=0.5m
Θ
X0
X

0

Ponto de
Equilíbrio 2

a) Obter o modelo dinâmico.
b) Determinar os pontos de equilíbrio.
c) Simular a dinâmica livre (τ=0) e comprovar os pontos de equilíbrio assim como o comportamento livre a partir de um estado inicial com e sem atrito.
d) Projetar um controlador PD e ajustar os ganhos para o movimento até um ponto no espaço. Simular o sistema em malha fechada.

Respostas:
1

a) Sendo a Energia Cinética do Sistema (𝐾 = 2 𝑚𝑣 2 ) e a Energia Potencial (𝑈 = 𝑚𝑔ℎ).
Podemos realizar as seguintes atribuições e cálculos:
ℎ = 𝐿 + 𝑦 (𝑐𝑜𝑚 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜)
𝑥 = 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝜃 → 𝑥̇ = −𝐿 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝜃̇ → 𝑥̇ 2 = 𝐿2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃) 𝜃̇ 2
𝑦 = 𝐿 𝑠𝑖𝑛 𝜃 → 𝑦̇ = −𝐿 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝜃̇ → 𝑦̇ 2 = 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) 𝜃̇ 2
Onde:
𝑣 2 = 𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 = 𝐿2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃) 𝜃̇ 2 + 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) 𝜃̇ 2 = 𝐿2 𝜃̇ 2 [𝑠𝑖𝑛2 (𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃)] → 𝑣 2 = 𝐿2 𝜃̇ 2
Logo:
1
1
𝑚𝑣 2 = 𝑚𝐿2 𝜃̇ 2
2
2
𝑈 = 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔(𝐿 + 𝑦) = 𝑚𝑔(𝐿 + 𝐿 𝑠𝑖𝑛 𝜃) = 𝑚𝑔𝐿(1 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃)
𝐾=

Sendo m=0.5kg e L=0.5m e levando em consideração g=9.8m/s, temos que o Lagrangiano é:
𝐾 = 0.0625. 𝜃̇ 2
𝑈 = 𝑚𝑔𝐿(1 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃) = 2.45(1 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃)
𝐿 = 𝐾 − 𝑈 = 0.0625. 𝜃̇ 2 − 2.45(1 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃) = 0.0625. 𝜃̇ 2 − 2.45 − 2.45 𝑠𝑖𝑛 𝜃
A fim de se encontrar o modelo dinâmico:
𝜕𝐿
= 0.125𝜃̇
𝜕𝜃̇
𝜕𝐿
= −2.45 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝜕𝜃
𝑑 𝜕𝐿
. [ ] = 0.125𝜃̈
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝜏 − 𝑏𝜃̇ = . [ ] −
→ 𝜏 − 𝑏𝜃̇ = 0.125𝜃̈ + 2.45 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (1)
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇
𝜕𝜃
b) Isolando 𝜃̈ em (1) tem-se que:
0.125𝜃̈ = 𝜏 − 𝑏𝜃̇ − 2.45 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝜏
𝑏
2.45
𝜏
𝑏