Polos e Zeros

Capítulo 1

Cálculo da resposta no domínio do tempo: o papel dos pólos e zeros 1.1 Introdução
O cálculo da resposta no domínio do tempo y(t) de um sistema g(t) pode ser calculado através da integral de convolução:
∞

y(t) =

g(τ)u(t − τ)dτ,
0

onde u(t) é o sinal de excitação do sistema.
Usualmente, utiliza-se a transformada de Laplace para a conversão do sistema para o domínio da freqüência:
Y (s) = G(s)U(s).
Posteriormente, para o cálculo de y(t), pode-se realizar a anti-transformada de
Laplace. Para isto, é mais fácil transformar Y (s) utilizando a técnica de expansão em frações parciais, já que cada fração parcial tem anti-transformada facilmente conhecida.
Neste caso, é possível evidenciar o efeito de cada pólo do sistema e do sinal de entrada u(t). Os zeros de Y (s) desaparecem na expansão em frações parciais. O efeito dos zeros afeta apenas os coeficentes das frações parciais. A conclusão que devemos chegar é que os zeros do sistema atuam como filtros evidenciando ou anulando o efeito dos pólos do sistema. 1.2 Algumas questões básicas
Seja um sistema linear e invariante no tempo representado por:

an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + . . . + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = bm u(m) (t) + bm−1 u(m−1) (t) + . . . + b1 u(1) (t) + b0 u(t),
1

Notas de Aula PMR2360 - Pólos e Zeros

NM

onde, y (i) (t)

d(i) y(t)
,
dt (i)

u(i) (t)

d(i) u(t)
,
dt (i)

Podemos definir:
D(p)

an p n + an−1 p n−1 + . . . + a1 p + a0 ,

e
N(p)

bm p m + bm−1 p m−1 + . . . + b1 p + b0 ,

onde, d(i) . dt (i)

p (i)

Utilizando esta notação podemos escrever:
D(p)y(t) = N(p)u(t).

(1.7)

A solução para y(t) envolve dois termos. O primeiro, corresponde a resposta do sistema D(p)y(t) = N(p)u(t) considerando uma entrada nula, i.e., u(t) = 0. Neste caso, a Equação 1.7 se reduz a equação denominada Homogênea,
D(p)y(t) = 0.
A sua transformada de Laplace pode ser expressa como:
Y (s) =

I(s)
,
D(s)

onde I(s) é um