Os Elementos de Euclides

Páginas: 8 (1790 palavras) Publicado: 18 de janeiro de 2014
Os Elementos de Euclides

Uma das questões que ocupou a atenção de muitos matemáticos, desde os
tempos de Euclides até os dias de Gauss, quando foi definitivamente
esclarecida, de maneira surpreendente.
A questão era se o Quinto Postulado, formulado por Euclides,
decorreria (ou não) como consequência dos outros postulados. Para
entender melhor essa história, é bom aprender um
pouco sobreo contexto em que surgiu a chamada
Geometria Euclidiana.

Os Elementos de Euclides
Até 300 a.c, Atenas havia sido o principal polo cultural da Antiguidade,
mas essa primazia passou para uma cidade da África (Alexandria, no Egito) que
abrigou a maior biblioteca da Antiguidade. Em seu acervo chegou a ter mais de
600 000 rolos de papiro, livros daquela época.

Neste ambiente extremamentepropício para o estudo e para a pesquisa, a
Matemática grega viveu sua era de ouro. A escola de Matemática de Alexandria
foi fundada por Euclides e gerou matemáticos fabulosos, como Aristarco,
Arquimedes, Apolônio e Erastóstenes.

Os Elementos de Euclides
O núcleo do conhecimento matemático que havia sido desenvolvido
pelas gerações anteriores foi compilado em uma coleção de 13 livros,todos
extremamente sucintos, geralmente apresentados em um
só volume, sob o título de Elementos. O organizador dessa
obra foi Euclides.

Embora, antes de Euclides, já outros matemáticos, como Hipócrates de Quios,
tenham reunido os conhecimentos disponíveis no seu tempo num único livro,
a mestria da obra de Euclides foi tal que suplantou todas as que a antecederam e
das quais não sobreviveu umaúnica cópia. Trata-se de fato de uma obra sem rival
que durante séculos atraiu a atenção dos maiores matemáticos e constituía
um modelo de como a lógica pode funcionar.

Breve descrição dos Elementos
Os seis primeiros livros dos Elementos apresentam a geometria plana. O
primeiro deles começa com 23 definições de termos geométricos, seguidas de 5
postulados e mais 5 noções comuns, que são:Postulados:
1. (É possível) traçar uma e uma só linha reta de qualquer ponto a
qualquer outro ponto.
2. (É possível) prolongar continuamente um segmento, a partir de
qualquer das suas extremidades numa linha reta [tanto quanto se queira.
3. (É possível) traçar uma circunferência com qualquer centro e raio.
4. Todos os ângulos retos são iguais.
5. Se uma linha reta cortar outras duas demodo que os dois ângulos
internos de um mesmo lado sejam no seu conjunto [isto é, na sua soma
menor que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas
indefinidamente, encontram-se num ponto do mesmo lado em que estão esses
dois ângulos;

Breve descrição dos Elementos
Noções comuns (aquilo que hoje chamamos de axiomas):
1. Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si.
2.Se a quantidades iguais se adicionam quantidades iguais,
obtêm-se quantidades iguais.
3. Se a quantidades iguais se subtraem quantidades iguais,
obtêm-se quantidades iguais.
4. Coisas que coincidem são iguais.
5. O todo é maior que a parte.

O Quinto Postulado de Euclides
“Se uma linha reta cortar outras duas de modo que os dois ângulos internos de
um mesmo lado sejam no seu conjunto[isto é, na sua soma menor que dois
ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente,
encontram-se num ponto do mesmo lado em que estão esses dois ângulos”

O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta
proposição a partir de outros axiomas da geometria. Mas sempre em vão. Esta
impossibilidade foi durante séculos o escândalo da geometria e odesespero
dos geómetras.

O Quinto Postulado de Euclides

Próclo (410 - 485), criticou este postulado nos

seguintes termos:
"Este postulado deve ser riscado da
lista, pois é uma proposição com muitas
dificuldades que Ptolomeu, em certo livro,
se propôs resolver... A asserção de que duas
linhas retas, por convergirem mais e mais à
medida que forem sendo prolongadas, acabam
por se...
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