Elementos de euclides

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Matemática Professores: Alcides Buss e Maicon Marques Alves MTM9204 – Elementos de Análise – Dependência 2010.2 Tarefa – Entregar até dia 23.10.2010 no pólo

Nome: Assinatura: Pólo:

Instruções: A tarefa é individual e deverá ser entregue até dia 23.10.2010 no pólo. A tarefa deverá ser enviada para UFSC para correção. Você pode discutir as questões com seus colegas, mas cada um deve redigir suas próprias resoluções. Em caso de cópia, as questões serão anuladas. Todas as questões devem conter justificativas. A nota desta tarefa será contabilizada de alguma forma (que ainda será decidida futuramente) como parte da nota final do aluno.
(1) Se verdadeiro, prove; se falso, forneça um contra-exemplo. Seja (M, d) um espaco métrico e sejam A, B ⊆ M ; (a) int(A ∪ B) = int(A) ∪ int(B); (b) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B); (c) A ∪ B = A ∪ B; (d) A ∩ B = A ∩ B; (e) A interseção de uma família de abertos nunca é um conjunto fechado. (2) Seja a um ponto de acumulação do conjunto A ⊂ R. Mostre que existe uma sequência crescente ou decrescente de pontos xn ∈ A que converge para a. (3) Seja (M, d) um espaço métrico. Lembre que a distância entre um ponto x ∈ M e um subconjunto A ⊆ M (não-vazio) é definida por d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}. Mostre que d(x, A − {x}) = 0 se e somente se x ∈ A . Sugestão: Use a caracterização de A por sequências. (4) Prove que um conjunto A ⊂ Rn é aberto se, e somente se, A ∩ X ⊂ A ∩ X para todo X ⊂ Rn . (5) Um subconjunto C ⊂ Rn é dito convexo se para quaisquer a, b ∈ C e λ ∈ (0, 1) tem-se que λ a + (1 − λ)b ∈ C. Mostre que o fecho de um conjunto convexo é convexo.

1

(6) Se K ⊂ U ⊂ Rn , com K compacto e U aberto, prove que existe ε > 0 tal que x ∈ K, y ∈ Rn , |x − y| < ε ⇒ λ x + (1 − λ)y ∈ U, ∀λ ∈ (0, 1). (7) Seja f : (0, 1) → R uma função uniformemente contínua. Prove que f é limitada. (8) Você certamente já viu funções definidas por “cláusulas” do tipo f (x) = g(x), h(x), se x ∈ A, se x ∈